Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x {(x + 4)}^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x {(x + 4)}^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x + 4)}^{3})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x + 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{3}) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 4$ .

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Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 4)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 4)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4

Diferencia.

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Paso 1.1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (4))) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} \cdot 1) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 1.1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3} \cdot 1)$

Paso 1.1.4.6

Multiplica ${(x + 4)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3})$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2})) + 2 {(x + 4)}^{3}$

Paso 1.1.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 (x ({(x + 4)}^{2})) + 2 {(x + 4)}^{3}$

Paso 1.1.5.3

Factoriza $2 {(x + 4)}^{2}$ de $6 x {(x + 4)}^{2} + 2 {(x + 4)}^{3}$ .

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Paso 1.1.5.3.1

Factoriza $2 {(x + 4)}^{2}$ de $6 x {(x + 4)}^{2}$ .

$f' (x) = 2 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x + 4)}^{3}$

Paso 1.1.5.3.2

Factoriza $2 {(x + 4)}^{2}$ de $2 {(x + 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x + 4)}^{2} (x + 4)$

Paso 1.1.5.3.3

Factoriza $2 {(x + 4)}^{2}$ de $2 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x + 4)}^{2} (x + 4)$ .

$f' (x) = 2 {(x + 4)}^{2} (3 x + x + 4)$

Paso 1.1.5.4

Suma $3 x$ y $x$ .

$f' (x) = 2 {(x + 4)}^{2} (4 x + 4)$

Paso 1.1.5.5

Reescribe ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$f' (x) = 2 ((x + 4) (x + 4)) (4 x + 4)$

Paso 1.1.5.6

Expande $(x + 4) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 2 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) (4 x + 4)$

Paso 1.1.5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) (4 x + 4)$

Paso 1.1.5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

Paso 1.1.5.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.5.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

Paso 1.1.5.7.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

Paso 1.1.5.7.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) (4 x + 4)$

Paso 1.1.5.7.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + 8 x + 16) (4 x + 4)$

Paso 1.1.5.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 16) (4 x + 4)$

Paso 1.1.5.9

Simplifica.

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Paso 1.1.5.9.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$f' (x) = (2 x^{2} + 16 x + 2 \cdot 16) (4 x + 4)$

Paso 1.1.5.9.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$f' (x) = (2 x^{2} + 16 x + 32) (4 x + 4)$

Paso 1.1.5.10

Expande $(2 x^{2} + 16 x + 32) (4 x + 4)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.11.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.11.2.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.5.11.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 16 \cdot (4 x \cdot x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.11.6.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 16 \cdot (4 (x \cdot x)) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 16 \cdot (4 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11.7

Multiplica $16$ por $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 64 x^{2} + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11.8

Multiplica $4$ por $16$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11.9

Multiplica $4$ por $32$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot 4$

Paso 1.1.5.11.10

Multiplica $32$ por $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 128$

Paso 1.1.5.12

Suma $8 x^{2}$ y $64 x^{2}$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 72 x^{2} + 64 x + 128 x + 128$

Paso 1.1.5.13

Suma $64 x$ y $128 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 72 x^{2} + 192 x + 128$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{3} + 72 x^{2} + 192 x + 128$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [128]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $72 x^{2}$ con respecto a $x$ es $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $72$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [192 x]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $192$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $192 x$ con respecto a $x$ es $192 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (128)$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (128)$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $192$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192 + \frac{d}{d x} (128)$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.5.1

Como $128$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $128$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192 + 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $24 x^{2} + 144 x + 192$ y $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $24 x^{2} + 144 x + 192$ .

$24 x^{2} + 144 x + 192$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $24 x^{2} + 144 x + 192 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$24 x^{2} + 144 x + 192 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $24$ de $24 x^{2} + 144 x + 192$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $24$ de $24 x^{2}$ .

$24 (x^{2}) + 144 x + 192 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $24$ de $144 x$ .

$24 (x^{2}) + 24 (6 x) + 192 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $24$ de $192$ .

$24 x^{2} + 24 (6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $24$ de $24 x^{2} + 24 (6 x)$ .

$24 (x^{2} + 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $24$ de $24 (x^{2} + 6 x) + 24 \cdot 8$ .

$24 (x^{2} + 6 x + 8) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} + 6 x + 8$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $6$ .

$2, 4$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$24 ((x + 2) (x + 4)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$24 (x + 2) (x + 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $24 (x + 2) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = - 2, - 4$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2$ en $f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = 2 (- 2) {((- 2) + 4)}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 4 {((- 2) + 4)}^{3}$

Paso 3.1.2.2

Suma $- 2$ y $4$ .

$f (- 2) = - 4 \cdot 2^{3}$

Paso 3.1.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- 2) = - 4 \cdot 8$

Paso 3.1.2.4

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$f (- 2) = - 32$

Paso 3.1.2.5

La respuesta final es $- 32$ .

$- 32$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2$ en $f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$ es $(- 2, - 32)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2, - 32)$

Paso 3.3

Sustituye $- 4$ en $f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = 2 (- 4) {((- 4) + 4)}^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f (- 4) = - 8 {((- 4) + 4)}^{3}$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 4$ y $4$ .

$f (- 4) = - 8 \cdot 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (- 4) = - 8 \cdot 0$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$f (- 4) = 0$

Paso 3.3.2.5

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 4$ en $f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$ es $(- 4, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 4, 0)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- 2, - 32), (- 4, 0)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4.1$ en la expresión.

$f'' (- 4.1) = 24 {(- 4.1)}^{2} + 144 (- 4.1) + 192$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 4.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4.1) = 24 \cdot 16.81 + 144 (- 4.1) + 192$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $24$ por $16.81$ .

$f'' (- 4.1) = 403.44 + 144 (- 4.1) + 192$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $144$ por $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 403.44 - 590.4 + 192$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $590.4$ de $403.44$ .

$f'' (- 4.1) = - 186.96 + 192$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 186.96$ y $192$ .

$f'' (- 4.1) = 5.04$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $5.04$ .

$5.04$

Paso 5.3

En $- 4.1$ , la segunda derivada es $5.04$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 4)$ .

Incremento en $(- \infty, - 4)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 4, - 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f'' (- 3) = 24 {(- 3)}^{2} + 144 (- 3) + 192$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3) = 24 \cdot 9 + 144 (- 3) + 192$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $24$ por $9$ .

$f'' (- 3) = 216 + 144 (- 3) + 192$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $144$ por $- 3$ .

$f'' (- 3) = 216 - 432 + 192$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Resta $432$ de $216$ .

$f'' (- 3) = - 216 + 192$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 216$ y $192$ .

$f'' (- 3) = - 24$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 24$ .

$- 24$

Paso 6.3

En $- 3$ , la segunda derivada es $- 24$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 4, - 2)$ .

Decrecimiento en $(- 4, - 2)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.9$ en la expresión.

$f'' (- 1.9) = 24 {(- 1.9)}^{2} + 144 (- 1.9) + 192$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $- 1.9$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.9) = 24 \cdot 3.61 + 144 (- 1.9) + 192$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $24$ por $3.61$ .

$f'' (- 1.9) = 86.64 + 144 (- 1.9) + 192$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $144$ por $- 1.9$ .

$f'' (- 1.9) = 86.64 - 273.6 + 192$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Resta $273.6$ de $86.64$ .

$f'' (- 1.9) = - 186.96 + 192$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 186.96$ y $192$ .

$f'' (- 1.9) = 5.04$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $5.04$ .

$5.04$

Paso 7.3

En $- 1.9$ , la segunda derivada es $5.04$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 2, \infty)$ .

Incremento en $(- 2, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 4, 0), (- 2, - 32)$ .

$(- 4, 0), (- 2, - 32)$

Paso 9