Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 20 x^{2} + 100 x$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 20 x^{2} + 100 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{2}] + \frac{d}{d x} [100 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{2}) + \frac{d}{d x} (100 x)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{2}) + \frac{d}{d x} (100 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 20 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 20 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 20 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (100 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 20 (2 x) + \frac{d}{d x} (100 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 20$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 40 x + \frac{d}{d x} (100 x)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [100 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100 x$ con respecto a $x$ es $100 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 40 x + 100 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 40 x + 100 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $100$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 40 x + 100$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 40 x + 100$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 40 x] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 40 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 40 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 40 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 40 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 40 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 40$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 40 x$ con respecto a $x$ es $- 40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 40 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 40$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 40 + \frac{d}{d x} (100)$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.4.1

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 40 + 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $6 x - 40$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 40$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x - 40$ .

$6 x - 40$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x - 40 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x - 40 = 0$

Paso 2.2

Suma $40$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 40$

Paso 2.3

Divide cada término en $6 x = 40$ por $6$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $6 x = 40$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{40}{6}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{40}{6}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{40}{6}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común de $40$ y $6$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $40$ .

$x = \frac{2 (20)}{6}$

Paso 2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{20}{3}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{20}{3}$ en $f (x) = x^{3} - 20 x^{2} + 100 x$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{20}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{20}{3}) = {(\frac{20}{3})}^{3} - 20 {(\frac{20}{3})}^{2} + 100 (\frac{20}{3})$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{20}{3}$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{20^{3}}{3^{3}} - 20 {(\frac{20}{3})}^{2} + 100 (\frac{20}{3})$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $20$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{3^{3}} - 20 {(\frac{20}{3})}^{2} + 100 (\frac{20}{3})$

Paso 3.1.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - 20 {(\frac{20}{3})}^{2} + 100 (\frac{20}{3})$

Paso 3.1.2.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{20}{3}$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - 20 \frac{20^{2}}{3^{2}} + 100 (\frac{20}{3})$

Paso 3.1.2.1.5

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - 20 \frac{400}{3^{2}} + 100 (\frac{20}{3})$

Paso 3.1.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - 20 (\frac{400}{9}) + 100 (\frac{20}{3})$

Paso 3.1.2.1.7

Multiplica $- 20 (\frac{400}{9})$ .

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Paso 3.1.2.1.7.1

Combina $- 20$ y $\frac{400}{9}$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} + \frac{- 20 \cdot 400}{9} + 100 (\frac{20}{3})$

Paso 3.1.2.1.7.2

Multiplica $- 20$ por $400$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} + \frac{- 8000}{9} + 100 (\frac{20}{3})$

Paso 3.1.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - \frac{8000}{9} + 100 (\frac{20}{3})$

Paso 3.1.2.1.9

Multiplica $100 (\frac{20}{3})$ .

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Paso 3.1.2.1.9.1

Combina $100$ y $\frac{20}{3}$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - \frac{8000}{9} + \frac{100 \cdot 20}{3}$

Paso 3.1.2.1.9.2

Multiplica $100$ por $20$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - \frac{8000}{9} + \frac{2000}{3}$

Paso 3.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.1.2.2.1

Multiplica $\frac{8000}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - (\frac{8000}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{2000}{3}$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $\frac{8000}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - \frac{8000 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2000}{3}$

Paso 3.1.2.2.3

Multiplica $\frac{2000}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - \frac{8000 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2000}{3} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 3.1.2.2.4

Multiplica $\frac{2000}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - \frac{8000 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2000 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Paso 3.1.2.2.5

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - \frac{8000 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2000 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Paso 3.1.2.2.6

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - \frac{8000 \cdot 3}{27} + \frac{2000 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Paso 3.1.2.2.7

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000}{27} - \frac{8000 \cdot 3}{27} + \frac{2000 \cdot 9}{27}$

Paso 3.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000 - 8000 \cdot 3 + 2000 \cdot 9}{27}$

Paso 3.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.4.1

Multiplica $- 8000$ por $3$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000 - 24000 + 2000 \cdot 9}{27}$

Paso 3.1.2.4.2

Multiplica $2000$ por $9$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{8000 - 24000 + 18000}{27}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.1.2.5.1

Resta $24000$ de $8000$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{- 16000 + 18000}{27}$

Paso 3.1.2.5.2

Suma $- 16000$ y $18000$ .

$f (\frac{20}{3}) = \frac{2000}{27}$

Paso 3.1.2.6

La respuesta final es $\frac{2000}{27}$ .

$\frac{2000}{27}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{20}{3}$ en $f (x) = x^{3} - 20 x^{2} + 100 x$ es $(\frac{20}{3}, \frac{2000}{27})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{20}{3}, \frac{2000}{27})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, \frac{20}{3}) \cup (\frac{20}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{20}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $6.5\overline{6}$ en la expresión.

$f'' (6.5\overline{6}) = 6 (6.5\overline{6}) - 40$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $6$ por $6.5\overline{6}$ .

$f'' (6.5\overline{6}) = 39.4 - 40$

Paso 5.2.2

Resta $40$ de $39.4$ .

$f'' (6.5\overline{6}) = - 0.5\overline{9}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 0.5\overline{9}$ .

$- 0.5\overline{9}$

Paso 5.3

En $6.5\overline{6}$ , la segunda derivada es $- 0.5\overline{9}$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, \frac{20}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{20}{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{20}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $6.7\overline{6}$ en la expresión.

$f'' (6.7\overline{6}) = 6 (6.7\overline{6}) - 40$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $6.7\overline{6}$ .

$f'' (6.7\overline{6}) = 40.6 - 40$

Paso 6.2.2

Resta $40$ de $40.6$ .

$f'' (6.7\overline{6}) = 0.6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.6$ .

$0.6$

Paso 6.3

En $6.7\overline{6}$ , la segunda derivada es $0.6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{20}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{20}{3}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(\frac{20}{3}, \frac{2000}{27})$ .

$(\frac{20}{3}, \frac{2000}{27})$

Paso 8