Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x^{3})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 (3 x^{2})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} + 48 x$ .

$12 x^{2} + 48 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} + 48 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} + 48 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $12 x$ de $12 x^{2} + 48 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $12 x$ de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) + 48 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $12 x$ de $48 x$ .

$12 x (x) + 12 x (4) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $12 x$ de $12 x (x) + 12 x (4)$ .

$12 x (x + 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 x (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 4$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = x^{4} + 8 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3}$

Paso 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = x^{4} + 8 x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $- 4$ en $f (x) = x^{4} + 8 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = {(- 4)}^{4} + 8 {(- 4)}^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $4$ .

$f (- 4) = 256 + 8 {(- 4)}^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$f (- 4) = 256 + 8 \cdot - 64$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $8$ por $- 64$ .

$f (- 4) = 256 - 512$

Paso 3.3.2.2

Resta $512$ de $256$ .

$f (- 4) = - 256$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $- 256$ .

$- 256$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 4$ en $f (x) = x^{4} + 8 x^{3}$ es $(- 4, - 256)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 4, - 256)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 4, - 256)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4.1$ en la expresión.

$f'' (- 4.1) = 12 {(- 4.1)}^{2} + 48 (- 4.1)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 4.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4.1) = 12 \cdot 16.81 + 48 (- 4.1)$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $12$ por $16.81$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 + 48 (- 4.1)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $48$ por $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 - 196.8$

Paso 5.2.2

Resta $196.8$ de $201.72$ .

$f'' (- 4.1) = 4.92$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $4.92$ .

$4.92$

Paso 5.3

En $- 4.1$ , la segunda derivada es $4.92$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 4)$ .

Incremento en $(- \infty, - 4)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 4, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 + 48 (- 2)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $4$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48 (- 2)$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $48$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 - 96$

Paso 6.2.2

Resta $96$ de $48$ .

$f'' (- 2) = - 48$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 48$ .

$- 48$

Paso 6.3

En $- 2$ , la segunda derivada es $- 48$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 4, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 4, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 48 (0.1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 48 (0.1)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 48 (0.1)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $48$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 4.8$

Paso 7.2.2

Suma $0.12$ y $4.8$ .

$f'' (0.1) = 4.92$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $4.92$ .

$4.92$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $4.92$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 4, - 256), (0, 0)$ .

$(- 4, - 256), (0, 0)$

Paso 9