Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{2 x^{2} - x - 1}$

Paso 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{2 x^{2} - x - 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 x^{2} - x - 1 \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Paso 1.2.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 1.2.4.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 1.2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Paso 1.2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Paso 1.2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 1.2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$2 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 1 \geq 0$

Paso 1.2.8.1.3

$20$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{2} - (0) - 1 \geq 0$

Paso 1.2.8.2.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 1.2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$2 {(4)}^{2} - (4) - 1 \geq 0$

Paso 1.2.8.3.3

$27$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{1}{2}$ Verdadero

$- \frac{1}{2} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - \frac{1}{2}$ Verdadero

$- \frac{1}{2} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 1.2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - \frac{1}{2}$ o $x \geq 1$

Paso 1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - \frac{1}{2}, x \geq 1}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - \frac{1}{2}, x \geq 1}$

Paso 2

Como el dominio no son todos números reales, $\sqrt{2 x^{2} - x - 1}$ no es continua en todos los números reales.

No es continua

Paso 3