Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 12$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 2 + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $3 x^{2} - 12 x + 2$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 2$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 12 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 + 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $6 x - 12$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x - 12 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Paso 2.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = 12$

Paso 2.3

Divide cada término en $6 x = 12$ por $6$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $6 x = 12$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $12$ por $6$ .

$x = 2$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2$ en $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 12$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 2 (2) + 12$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = 8 - 6 {(2)}^{2} + 2 (2) + 12$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 8 - 6 \cdot 4 + 2 (2) + 12$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$f (2) = 8 - 24 + 2 (2) + 12$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (2) = 8 - 24 + 4 + 12$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.1.2.2.1

Resta $24$ de $8$ .

$f (2) = - 16 + 4 + 12$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $- 16$ y $4$ .

$f (2) = - 12 + 12$

Paso 3.1.2.2.3

Suma $- 12$ y $12$ .

$f (2) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $2$ en $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 12$ es $(2, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(2, 0)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.9$ en la expresión.

$f'' (1.9) = 6 (1.9) - 12$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $6$ por $1.9$ .

$f'' (1.9) = 11.4 - 12$

Paso 5.2.2

Resta $12$ de $11.4$ .

$f'' (1.9) = - 0.6$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 0.6$ .

$- 0.6$

Paso 5.3

En $1.9$ , la segunda derivada es $- 0.6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 2)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 2)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.1$ en la expresión.

$f'' (2.1) = 6 (2.1) - 12$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $6$ por $2.1$ .

$f'' (2.1) = 12.6 - 12$

Paso 6.2.2

Resta $12$ de $12.6$ .

$f'' (2.1) = 0.6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.6$ .

$0.6$

Paso 6.3

En $2.1$ , la segunda derivada es $0.6$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(2, 0)$ .

$(2, 0)$

Paso 8