Cálculo Ejemplos

$y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

Paso 1

Escribe $y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ como una función.

$f (x) = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $3$ por $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$24 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 18$ .

$24 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.5.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + 0$

Paso 2.1.5.2

Suma $24 x^{2} - 36 x - 24$ y $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $12$ de $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $12$ de $24 x^{2}$ .

$12 (2 x^{2}) - 36 x - 24 = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $12$ de $- 36 x$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) - 24 = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $12$ de $- 24$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $12$ de $12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $12$ de $12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Paso 3.2.2.1.1.2

Reescribe $- 3$ como $1$ más $- 4$

$12 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Paso 3.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$12 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Paso 3.2.2.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$12 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Paso 3.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$12 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Paso 3.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$12 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Paso 3.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$12 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Paso 3.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 3.4

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 3.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- \frac{1}{2}, 2$ .

$- \frac{1}{2}, 2$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.5$ en la expresión.

$f' (- 1.5) = 24 {(- 1.5)}^{2} - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.5) = 24 \cdot 2.25 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $24$ por $2.25$ .

$f' (- 1.5) = 54 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 36$ por $- 1.5$ .

$f' (- 1.5) = 54 + 54 - 24$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Suma $54$ y $54$ .

$f' (- 1.5) = 108 - 24$

Paso 6.2.2.2

Resta $24$ de $108$ .

$f' (- 1.5) = 84$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $84$ .

$84$

Paso 6.3

En $x = - 1.5$ la derivada es $84$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{1}{2})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 0.5, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.75$ en la expresión.

$f' (0.75) = 24 {(0.75)}^{2} - 36 \cdot 0.75 - 24$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.75$ a la potencia de $2$ .

$f' (0.75) = 24 \cdot 0.5625 - 36 \cdot 0.75 - 24$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $24$ por $0.5625$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 36 \cdot 0.75 - 24$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 36$ por $0.75$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 27 - 24$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 7.2.2.1

Resta $27$ de $13.5$ .

$f' (0.75) = - 13.5 - 24$

Paso 7.2.2.2

Resta $24$ de $- 13.5$ .

$f' (0.75) = - 37.5$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 37.5$ .

$- 37.5$

Paso 7.3

En $x = 0.75$ la derivada es $- 37.5$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 0.5, 2)$ .

Decrecimiento en $(- \frac{1}{2}, 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 24 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3 - 24$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = 24 \cdot 9 - 36 \cdot 3 - 24$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $24$ por $9$ .

$f' (3) = 216 - 36 \cdot 3 - 24$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 36$ por $3$ .

$f' (3) = 216 - 108 - 24$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 8.2.2.1

Resta $108$ de $216$ .

$f' (3) = 108 - 24$

Paso 8.2.2.2

Resta $24$ de $108$ .

$f' (3) = 84$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $84$ .

$84$

Paso 8.3

En $x = 3$ la derivada es $84$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - \frac{1}{2}), (2, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Paso 10