Cálculo Ejemplos

$y = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Paso 1

Escribe $y = x - 4 \ln (3 x - 4)$ como una función.

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4 \ln (3 x - 4)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \ln (3 x - 4)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x - 4$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Paso 2.1.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Paso 2.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Paso 2.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Paso 2.1.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Paso 2.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Paso 2.1.2.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + 0))$

Paso 2.1.2.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 + 0))$

Paso 2.1.2.8

Suma $3$ y $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \cdot 3)$

Paso 2.1.2.9

Combina $\frac{1}{3 x - 4}$ y $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 4}$

Paso 2.1.2.10

Combina $- 4$ y $\frac{3}{3 x - 4}$ .

$1 + \frac{- 4 \cdot 3}{3 x - 4}$

Paso 2.1.2.11

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$1 + \frac{- 12}{3 x - 4}$

Paso 2.1.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{12}{3 x - 4}$

Paso 2.1.3

Combina los términos.

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Paso 2.1.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{12}{3 x - 4}$

Paso 2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x - 4 - 12}{3 x - 4}$

Paso 2.1.3.3

Resta $12$ de $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 x - 16 = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 16$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $3 x = 16$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $3 x = 16$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{16}{3}$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{16}{3}$ .

$\frac{16}{3}$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 x - 4 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 4$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \frac{16}{3}) \cup (\frac{16}{3}, \infty)$

Paso 7

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(1.3333334, \frac{16}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.33333345$ en la expresión.

$f' (3.33333345) = \frac{3 (3.33333345) - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Multiplica $3$ por $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{10.00000035 - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Paso 8.2.1.2

Resta $16$ de $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{3 (3.33333345) - 4}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $3$ por $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{10.00000035 - 4}$

Paso 8.2.2.2

Resta $4$ de $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{6.00000035}$

Paso 8.2.3

Divide $- 5.99999965$ por $6.00000035$ .

$f' (3.33333345) = - 0.99999988$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 0.99999988$ .

$- 0.99999988$

Paso 8.3

En $x = 3.33333345$ la derivada es $- 0.99999988$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(1.3333334, \frac{16}{3})$ .

Decrecimiento en $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3}), (\frac{16}{3}, \infty)$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{16}{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $6.3333335$ en la expresión.

$f' (6.3333335) = \frac{3 (6.3333335) - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1.1

Multiplica $3$ por $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{19.0000005 - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Paso 10.2.1.2

Resta $16$ de $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{3 (6.3333335) - 4}$

Paso 10.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.1

Multiplica $3$ por $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{19.0000005 - 4}$

Paso 10.2.2.2

Resta $4$ de $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{15.0000005}$

Paso 10.2.3

Divide $3.0000005$ por $15.0000005$ .

$f' (6.3333335) = 0.20000002$

Paso 10.2.4

La respuesta final es $0.20000002$ .

$0.20000002$

Paso 10.3

En $x = 6.3333335$ la derivada es $0.20000002$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{16}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{16}{3}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 11

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(\frac{16}{3}, \infty)$

Decrecimiento en: $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Paso 12