Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

Paso 1

Escribe $y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ como una función.

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (6)$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $3 x^{2} - 16 x - 12$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 16 x - 12$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Paso 3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ y cuya suma es $b = - 16$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $- 16$ de $- 16 x$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $- 16$ como $2$ más $- 18$

$3 x^{2} + (2 - 18) x - 12 = 0$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 2 x - 18 x - 12 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} + 2 x) - 18 x - 12 = 0$

Paso 3.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x + 2) - 6 (3 x + 2) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 6) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 3.4

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 3.5

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 2) (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{2}{3}, 6$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- \frac{2}{3}, 6$ .

$- \frac{2}{3}, 6$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.6666667$ en la expresión.

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.6666667$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot 2.777777\overline{8} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $2.777777\overline{8}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 16$ por $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} + 26.6666672 - 12$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Suma $8.333333\overline{6}$ y $26.6666672$ .

$f' (- 1.6666667) = 35.00000086 - 12$

Paso 6.2.2.2

Resta $12$ de $35.00000086$ .

$f' (- 1.6666667) = 23.00000086$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $23.00000086$ .

$23.00000086$

Paso 6.3

En $x = - 1.6666667$ la derivada es $23.00000086$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{2}{3})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 0.6666667, 6)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.\overline{6}$ en la expresión.

$f' (2.\overline{6}) = 3 {(2.\overline{6})}^{2} - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $2.\overline{6}$ a la potencia de $2$ .

$f' (2.\overline{6}) = 3 \cdot 7.11111102 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $7.11111102$ .

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 16$ por $2.\overline{6}$ .

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 42.6666664 - 12$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 7.2.2.1

Resta $42.6666664$ de $21.33333306$ .

$f' (2.\overline{6}) = - 21.\overline{3} - 12$

Paso 7.2.2.2

Resta $12$ de $- 21.\overline{3}$ .

$f' (2.\overline{6}) = - 33.\overline{3}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 33.\overline{3}$ .

$- 33.\overline{3}$

Paso 7.3

En $x = 2.\overline{6}$ la derivada es $- 33.\overline{3}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 0.6666667, 6)$ .

Decrecimiento en $(- \frac{2}{3}, 6)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(6, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = 3 {(7)}^{2} - 16 \cdot 7 - 12$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f' (7) = 3 \cdot 49 - 16 \cdot 7 - 12$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $3$ por $49$ .

$f' (7) = 147 - 16 \cdot 7 - 12$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 16$ por $7$ .

$f' (7) = 147 - 112 - 12$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 8.2.2.1

Resta $112$ de $147$ .

$f' (7) = 35 - 12$

Paso 8.2.2.2

Resta $12$ de $35$ .

$f' (7) = 23$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $23$ .

$23$

Paso 8.3

En $x = 7$ la derivada es $23$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(6, \infty)$ .

Incremento en $(6, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - \frac{2}{3}), (6, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \frac{2}{3}, 6)$

Paso 10