Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x + 3 x^{2}}}{4 x - 1}$

Paso 1

Factoriza $x$ de $x + 3 x^{2}$ .

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Paso 1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{1} + 3 x^{2}}}{4 x - 1}$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 1 + 3 x^{2}}}{4 x - 1}$

Paso 1.3

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 1 + x (3 x)}}{4 x - 1}$

Paso 1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (3 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (1 + 3 x)}}{4 x - 1}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x^{2}}}}{\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x^{2}}}}{4 - \frac{1}{x}}$

Paso 4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x \cdot x}}}{4 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x \cdot x}}}{4 - \frac{1}{x}}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1 + 3 x}{x}}}{4 - \frac{1}{x}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1 + 3 x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

Paso 5.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + 3 x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

Paso 6

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

Paso 7.1.2

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

Paso 7.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

Paso 7.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{0 + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{0 + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

Paso 9.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 9.4

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{4 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{4 - 0}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Divide $0 + 3$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{0 + 3}}{4 - 0}$

Paso 11.2

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4 - 0}$

Paso 11.3

Simplifica el denominador.

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Paso 11.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4 + 0}$

Paso 11.3.2

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Forma decimal:

$0.43301270 \dots$