Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{x - 5}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{x - 5}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 5})$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{- 1})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x - 5$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 5$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 5))$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5))$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 5$ .

$f' (x) = 3 (- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5))$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = - 3 ({(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5))$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Paso 1.1.3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 1.1.3.5.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.2.1.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{{(x - 5)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ como ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} {({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$

Paso 1.2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2 \cdot - 1}$

Paso 1.2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{- 2}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x - 5$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 5$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 5))$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 5$ .

$f'' (x) = - 3 (- 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

Paso 1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = 6 ({(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

Paso 1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Paso 1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Paso 1.2.3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0)$

Paso 1.2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 1.2.3.5.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3}$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{{(x - 5)}^{3}})$

Paso 1.2.4.2

Combina $6$ y $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{6}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{6}{{(x - 5)}^{3}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{6}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{6}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$6 = 0$

Paso 2.3

Como $6 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión