Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ , $[0, 2]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ es continua.

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Paso 2.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[0, 2]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} - 2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 3.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.1.2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$8 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x - 2 + 0$

Paso 3.1.4.2

Suma $8 x - 2$ y $0$ .

$f' (x) = 8 x - 2$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $8 x - 2$ .

$8 x - 2$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(0, 2)$ .

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Paso 4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(0, 2)$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(0, 2)$ porque la derivada es continua en $(0, 2)$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[0, 2]$ y diferenciable en $(0, 2)$ .

$f (x)$ es continua en $[0, 2]$ y diferenciable en $(0, 2)$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[0, 2]$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 4 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 7.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Paso 7.2.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$f (0) = 3$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 8

Evalúa $f (b)$ del intervalo $[0, 2]$ .

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 4 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 3$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 4 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 3$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f (2) = 16 - 2 \cdot 2 + 3$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (2) = 16 - 4 + 3$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 8.2.2.1

Resta $4$ de $16$ .

$f (2) = 12 + 3$

Paso 8.2.2.2

Suma $12$ y $3$ .

$f (2) = 15$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $15$ .

$15$

Paso 9

Resuelve $8 x - 2 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $8 x - 2 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

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Paso 9.1

Simplifica $\frac{(15) - (3)}{(2) - (0)}$ .

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Paso 9.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$8 x - 2 = \frac{15 - 3}{2 - (0)}$

Paso 9.1.1.2

Resta $3$ de $15$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2 - (0)}$

Paso 9.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2 + 0}$

Paso 9.1.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2}$

Paso 9.1.3

Divide $12$ por $2$ .

$8 x - 2 = 6$

Paso 9.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$8 x = 6 + 2$

Paso 9.2.2

Suma $6$ y $2$ .

$8 x = 8$

Paso 9.3

Divide cada término en $8 x = 8$ por $8$ y simplifica.

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Paso 9.3.1

Divide cada término en $8 x = 8$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 9.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

Paso 9.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{8}$

Paso 9.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.3.1

Divide $8$ por $8$ .

$x = 1$

Paso 10

Se halla una tangente en $x = 1$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 2$ .

Hay una tangente en $x = 1$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = 2$ .

Paso 11