Cálculo Ejemplos

$y = x \sqrt{4 - x}$

Paso 1

Escribe $y = x \sqrt{4 - x}$ como una función.

$f (x) = x \sqrt{4 - x}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 - x$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.8

Combina fracciones.

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Paso 2.1.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.8.3

Mueve ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.14

Combina fracciones.

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Paso 2.1.1.14.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.14.2

Combina $\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot - 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.14.3.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = \frac{- 1 \cdot x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.14.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{- x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.14.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.1.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 2.1.1.16

Multiplica ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.1.1.17

Para escribir ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.18

Combina ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.20

Multiplica ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.1.20.1

Mueve ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.20.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.20.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.20.4

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.20.5

Divide $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.21

Simplifica ${(4 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.22

Mueve $2$ a la izquierda de $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.23

Simplifica.

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Paso 2.1.1.23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot 4 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.23.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.23.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.23.2.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.23.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8 - 2 x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.23.2.2

Resta $2 x$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.23.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x) + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.23.4

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.23.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.23.6

Reescribe $- (3 x - 8)$ como $- 1 (3 x - 8)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.1.23.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x - 8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x - 8$ y $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Multiplica los exponentes en ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Paso 2.1.2.5

Diferencia.

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Paso 2.1.2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Paso 2.1.2.5.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Paso 2.1.2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Paso 2.1.2.5.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Paso 2.1.2.5.5

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Paso 2.1.2.5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.5.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Paso 2.1.2.5.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Paso 2.1.2.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 - x$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.11

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.11.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.11.3

Mueve ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.12

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.13

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.14

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.16

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.16.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.16.2

Multiplica $3 x - 8$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{4 - x}$

Paso 2.1.2.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{4 - x}$

Paso 2.1.2.18

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.18.1

Multiplica $3 x - 8$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{4 - x}$

Paso 2.1.2.18.2

Multiplica $\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(4 - x) \cdot 2}$

Paso 2.1.2.18.3

Mueve $2$ a la izquierda de $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (4 - x)}$

Paso 2.1.2.19

Simplifica.

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Paso 2.1.2.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.19.2.1

Sea $u_{2} = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u_{2}$ por todos los casos de ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.19.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2.1.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.19.2.1.2.1

Mueve $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2.1.2.2

Multiplica $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2.3

Simplifica.

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Paso 2.1.2.19.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.19.2.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.1.2.19.2.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.19.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (4 - x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2.3.1.2

Simplifica.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (4 - x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 \cdot 4 + 6 (- x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2.3.1.4

Multiplica $6$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 + 6 (- x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 - 6 x + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2.3.2

Resta $8$ de $24$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 x + 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.2.3.3

Suma $- 6 x$ y $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.3

Combina los términos.

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Paso 2.1.2.19.3.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 + 2 (- x)}$

Paso 2.1.2.19.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 - 2 x}$

Paso 2.1.2.19.3.3

Reescribe $\frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 - 2 x}$ como un producto.

$f'' (x) = - (\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{8 - 2 x})$

Paso 2.1.2.19.3.4

Multiplica $\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{8 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (8 - 2 x)}$

Paso 2.1.2.19.4

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.19.4.1

Factoriza $2$ de $8 - 2 x$ .

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Paso 2.1.2.19.4.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4) - 2 x)}$

Paso 2.1.2.19.4.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4) + 2 (- x))}$

Paso 2.1.2.19.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 (4) + 2 (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (4 - x))}$

Paso 2.1.2.19.4.2

Combina exponentes.

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Paso 2.1.2.19.4.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (4 - x)}$

Paso 2.1.2.19.4.2.2

Eleva $4 - x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 ((4 - x) {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.1.2.19.4.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.2.19.4.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.2.19.4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 2.1.2.19.4.2.6

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.2.19.5

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.2.19.6

Reescribe $16$ como $- 1 (- 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.2.19.7

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x - 16)}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.2.19.8

Reescribe $- (3 x - 16)$ como $- 1 (3 x - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1 (3 x - 16)}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.2.19.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.2.19.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 2.1.2.19.11

Multiplica $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 x - 16 = 0$

Paso 2.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 16$

Paso 2.2.3.2

Divide cada término en $3 x = 16$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Divide cada término en $3 x = 16$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Paso 2.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Paso 2.2.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{16}{3}$

Paso 2.2.4

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = x \sqrt{4 - x}$ .

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Paso 3.1

Establece el radicando en $\sqrt{4 - x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$4 - x \geq 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x \geq - 4$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $- x \geq - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término de $- x \geq - 4$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x \leq 4$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 4]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq 4}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 4]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq 4}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 4]$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 4]$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{3 (0) - 16}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Factoriza $4$ de $3 (0)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) - 16}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.2

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 4 \cdot - 4}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.3

Factoriza $4$ de $4 (3 \cdot (0)) + 4 (- 4)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.4.1

Factoriza $4$ de $4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 ({(4 - (0))}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 5.2.4.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.4.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot (0) - 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 - 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.5.2

Resta $4$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.6

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.6.1

Resta $0$ de $4$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{4^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.6.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 5.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 5.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{3}}$

Paso 5.2.6.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{8}$

Paso 5.2.7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.7.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $8$ .

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Paso 5.2.7.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f'' (0) = \frac{4 (- 1)}{8}$

Paso 5.2.7.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.7.1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Paso 5.2.7.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Paso 5.2.7.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.8

La respuesta final es $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, 4]$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, 4]$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6