Cálculo Ejemplos

Hallar la concavidad f(x)=x raíz cuadrada de 3-x
Paso 1
Find the values where the second derivative is equal to .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Obtener la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.1
Usa para reescribir como .
Paso 1.1.1.2
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 1.1.1.3
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.3.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.1.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.3.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.1.1.4
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 1.1.1.5
Combina y .
Paso 1.1.1.6
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.1.1.7
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.7.1
Multiplica por .
Paso 1.1.1.7.2
Resta de .
Paso 1.1.1.8
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.8.1
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.1.1.8.2
Combina y .
Paso 1.1.1.8.3
Mueve al denominador mediante la regla del exponente negativo .
Paso 1.1.1.8.4
Combina y .
Paso 1.1.1.9
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.10
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.11
Suma y .
Paso 1.1.1.12
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.13
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.14
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.14.1
Multiplica por .
Paso 1.1.1.14.2
Combina y .
Paso 1.1.1.14.3
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.14.3.1
Mueve a la izquierda de .
Paso 1.1.1.14.3.2
Reescribe como .
Paso 1.1.1.14.3.3
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.1.1.15
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.16
Multiplica por .
Paso 1.1.1.17
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 1.1.1.18
Combina y .
Paso 1.1.1.19
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.1.1.20
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.20.1
Mueve .
Paso 1.1.1.20.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.1.1.20.3
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.1.1.20.4
Suma y .
Paso 1.1.1.20.5
Divide por .
Paso 1.1.1.21
Simplifica .
Paso 1.1.1.22
Mueve a la izquierda de .
Paso 1.1.1.23
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.23.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.1.1.23.2
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.23.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.23.2.1.1
Multiplica por .
Paso 1.1.1.23.2.1.2
Multiplica por .
Paso 1.1.1.23.2.2
Resta de .
Paso 1.1.1.23.3
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1.23.3.1
Factoriza de .
Paso 1.1.1.23.3.2
Factoriza de .
Paso 1.1.1.23.3.3
Factoriza de .
Paso 1.1.1.23.4
Factoriza de .
Paso 1.1.1.23.5
Reescribe como .
Paso 1.1.1.23.6
Factoriza de .
Paso 1.1.1.23.7
Reescribe como .
Paso 1.1.1.23.8
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.1.2
Obtener la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.2
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 1.1.2.3
Multiplica los exponentes en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.3.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 1.1.2.3.2
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.3.2.1
Cancela el factor común.
Paso 1.1.2.3.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 1.1.2.4
Simplifica.
Paso 1.1.2.5
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.5.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.5.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.2.5.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.5.4
Simplifica la expresión.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.5.4.1
Suma y .
Paso 1.1.2.5.4.2
Multiplica por .
Paso 1.1.2.6
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.6.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.1.2.6.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.2.6.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.1.2.7
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 1.1.2.8
Combina y .
Paso 1.1.2.9
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.1.2.10
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.10.1
Multiplica por .
Paso 1.1.2.10.2
Resta de .
Paso 1.1.2.11
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.11.1
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.1.2.11.2
Combina y .
Paso 1.1.2.11.3
Mueve al denominador mediante la regla del exponente negativo .
Paso 1.1.2.12
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.13
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.14
Suma y .
Paso 1.1.2.15
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.16
Multiplica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.16.1
Multiplica por .
Paso 1.1.2.16.2
Multiplica por .
Paso 1.1.2.17
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.2.18
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.18.1
Multiplica por .
Paso 1.1.2.18.2
Multiplica por .
Paso 1.1.2.18.3
Reordena.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.18.3.1
Mueve a la izquierda de .
Paso 1.1.2.18.3.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 1.1.2.19
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.19.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.1.2.19.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.1.2.19.3
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.19.3.1
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.19.3.1.1
Factoriza de .
Paso 1.1.2.19.3.1.2
Factoriza de .
Paso 1.1.2.19.3.1.3
Factoriza de .
Paso 1.1.2.19.3.2
Sea . Sustituye por todos los casos de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.19.3.2.1
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 1.1.2.19.3.2.2
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.19.3.2.2.1
Mueve .
Paso 1.1.2.19.3.2.2.2
Multiplica por .
Paso 1.1.2.19.3.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.1.2.19.3.4
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.19.3.4.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.19.3.4.1.1
Multiplica los exponentes en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.19.3.4.1.1.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 1.1.2.19.3.4.1.1.2
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.19.3.4.1.1.2.1
Cancela el factor común.
Paso 1.1.2.19.3.4.1.1.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 1.1.2.19.3.4.1.2
Simplifica.
Paso 1.1.2.19.3.4.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.1.2.19.3.4.1.4
Multiplica por .
Paso 1.1.2.19.3.4.1.5
Multiplica por .
Paso 1.1.2.19.3.4.2
Resta de .
Paso 1.1.2.19.3.4.3
Suma y .
Paso 1.1.2.19.4
Combina los términos.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.19.4.1
Combina y .
Paso 1.1.2.19.4.2
Multiplica por .
Paso 1.1.2.19.4.3
Multiplica por .
Paso 1.1.2.19.4.4
Reescribe como un producto.
Paso 1.1.2.19.4.5
Multiplica por .
Paso 1.1.2.19.5
Simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.19.5.1
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.19.5.1.1
Factoriza de .
Paso 1.1.2.19.5.1.2
Factoriza de .
Paso 1.1.2.19.5.1.3
Factoriza de .
Paso 1.1.2.19.5.2
Combina exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.2.19.5.2.1
Multiplica por .
Paso 1.1.2.19.5.2.2
Eleva a la potencia de .
Paso 1.1.2.19.5.2.3
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.1.2.19.5.2.4
Escribe como una fracción con un denominador común.
Paso 1.1.2.19.5.2.5
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.1.2.19.5.2.6
Suma y .
Paso 1.1.2.19.6
Factoriza de .
Paso 1.1.2.19.7
Reescribe como .
Paso 1.1.2.19.8
Factoriza de .
Paso 1.1.2.19.9
Reescribe como .
Paso 1.1.2.19.10
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.1.2.19.11
Multiplica por .
Paso 1.1.2.19.12
Multiplica por .
Paso 1.1.3
La segunda derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Establece la segunda derivada igual a luego resuelve la ecuación .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.1
Establece la segunda derivada igual a .
Paso 1.2.2
Establece el numerador igual a cero.
Paso 1.2.3
Resuelve la ecuación en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.3.1
Divide cada término en por y simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.3.1.1
Divide cada término en por .
Paso 1.2.3.1.2
Simplifica el lado izquierdo.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.3.1.2.1
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.3.1.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 1.2.3.1.2.1.2
Divide por .
Paso 1.2.3.1.3
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.3.1.3.1
Divide por .
Paso 1.2.3.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 1.2.4
Excluye las soluciones que no hagan que sea verdadera.
Paso 2
Obtén el dominio de .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1
Establece el radicando en mayor o igual que para obtener el lugar donde está definida la expresión.
Paso 2.2
Resuelve
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.1
Resta de ambos lados de la desigualdad.
Paso 2.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.2.1
Divide cada término de por . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.
Paso 2.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.2.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 2.2.2.2.2
Divide por .
Paso 2.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.2.3.1
Divide por .
Paso 2.3
El dominio son todos los valores de que hacen que la expresión sea definida.
Notación de intervalo:
Notación del constructor de conjuntos:
Notación de intervalo:
Notación del constructor de conjuntos:
Paso 3
Crea intervalos alrededor de los valores de donde la segunda derivada es cero o indefinida.
Paso 4
Sustituye cualquier número del intervalo en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 4.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1
Factoriza de .
Paso 4.2.2
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.2.1
Factoriza de .
Paso 4.2.2.2
Cancela el factor común.
Paso 4.2.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 4.2.3
Resta de .
Paso 4.2.4
Resta de .
Paso 4.2.5
Multiplica por .
Paso 4.2.6
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 4.2.7
Mueve al denominador mediante la regla del exponente negativo .
Paso 4.2.8
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.8.1
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 4.2.8.2
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 4.2.8.3
Combina y .
Paso 4.2.8.4
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 4.2.8.5
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.8.5.1
Multiplica por .
Paso 4.2.8.5.2
Resta de .
Paso 4.2.9
La respuesta final es .
Paso 4.3
La gráfica es cóncava en el intervalo porque es negativa.
Cóncavo en dado que es negativo
Cóncavo en dado que es negativo
Paso 5