Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [150 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 45 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 45$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 45 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 45 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (150 x)$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 45 (2 x) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 45$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + \frac{d}{d x} (150 x)$

Paso 1.1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [150 x]$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Como $150$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $150 x$ con respecto a $x$ es $150 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150 \cdot 1$

Paso 1.1.1.4.3

Multiplica $150$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{2} - 90 x + 150$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90 x] + \frac{d}{d x} [150]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 90 x) + \frac{d}{d x} (150)$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 90 x) + \frac{d}{d x} (150)$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 90 x) + \frac{d}{d x} (150)$

Paso 1.1.2.2.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 90 x) + \frac{d}{d x} (150)$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 90 x]$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Como $- 90$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 90 x$ con respecto a $x$ es $- 90 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x - 90 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (150)$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x - 90 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (150)$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica $- 90$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x - 90 + \frac{d}{d x} (150)$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.2.4.1

Como $150$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $150$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 90 + 0$

Paso 1.1.2.4.2

Suma $24 x - 90$ y $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 90$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $24 x - 90$ .

$24 x - 90$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $24 x - 90 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$24 x - 90 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $90$ a ambos lados de la ecuación.

$24 x = 90$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $24 x = 90$ por $24$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $24 x = 90$ por $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{90}{24}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $24$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{24 x}{24} = \frac{90}{24}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{90}{24}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Cancela el factor común de $90$ y $24$ .

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Paso 1.2.3.3.1.1

Factoriza $6$ de $90$ .

$x = \frac{6 (15)}{24}$

Paso 1.2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $24$ .

$x = \frac{6 \cdot 15}{6 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{6 \cdot 15}{6 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{15}{4}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \frac{15}{4}) \cup (\frac{15}{4}, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \frac{15}{4})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 24 (0) - 90$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Multiplica $24$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 90$

Paso 4.2.2

Resta $90$ de $0$ .

$f'' (0) = - 90$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 90$ .

$- 90$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, \frac{15}{4})$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, \frac{15}{4})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{15}{4}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f'' (6) = 24 (6) - 90$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $24$ por $6$ .

$f'' (6) = 144 - 90$

Paso 5.2.2

Resta $90$ de $144$ .

$f'' (6) = 54$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $54$ .

$54$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(\frac{15}{4}, \infty)$ porque $f'' (6)$ es positiva.

Convexo en $(\frac{15}{4}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, \frac{15}{4})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(\frac{15}{4}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7