Cálculo Ejemplos

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Paso 1

Escribe $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ como una función.

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Paso 2.1.1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Paso 2.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.1.2.1

Como $- \frac{1}{32}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{32}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.1.1.2.2

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ y $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x)$

Paso 2.1.1.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.1.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

Paso 2.1.1.2.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

Paso 2.1.1.2.4.3

Combina $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ y $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{32}$

Paso 2.1.1.2.4.4

Cancela el factor común de $- 2$ y $32$ .

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Paso 2.1.1.2.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{32}$

Paso 2.1.1.2.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.2.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $32$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 (16)}$

Paso 2.1.1.2.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 \cdot 16}$

Paso 2.1.1.2.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

Paso 2.1.1.2.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.2.4.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

Paso 2.1.1.2.4.5.2

Reordena los factores en $e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ .

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $- \frac{1}{16}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$ .

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ .

$- \frac{1}{16} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{32}}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.4

Diferencia.

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Paso 2.1.2.4.1

Como $- \frac{1}{32}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{32}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.4.2.1

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ y $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.4.2.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.4.4

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.4.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{16} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.4.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.4.4.3

Combina $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32}$ y $x$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}}) x}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.1.2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.8.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $32$ .

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Paso 2.1.2.8.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.8.2.2.1

Factoriza $2$ de $32$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 (16)} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.8.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 \cdot 16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{16} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \cdot 1)$

Paso 2.1.2.10

Multiplica $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}})$

Paso 2.1.2.11

Simplifica.

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Paso 2.1.2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}) - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Paso 2.1.2.11.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.2.11.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{16}) \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Paso 2.1.2.11.2.2

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Paso 2.1.2.11.2.3

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16 \cdot 16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Paso 2.1.2.11.2.4

Multiplica $16$ por $16$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Paso 2.1.2.11.2.5

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ y $\frac{1}{16}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$

Paso 2.2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = - 4, 4$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2} e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Mueve $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 5.2.1.4

Cancela el factor común de $36$ y $32$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 5.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.4.2.1

Factoriza $4$ de $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 5.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 5.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $4$ de $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 5.2.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.6.1

Factoriza $4$ de $256 e^{\frac{9}{8}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 5.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 5.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 5.2.1.7

Mueve $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}$

Paso 5.2.1.8

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

Paso 5.2.1.9

Cancela el factor común de $36$ y $32$ .

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Paso 5.2.1.9.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

Paso 5.2.1.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.9.2.1

Factoriza $4$ de $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Paso 5.2.1.9.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Paso 5.2.1.9.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

Paso 5.2.2

Para escribir $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 5.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $64 e^{\frac{9}{8}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- 6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Paso 5.2.5

Resta $4$ de $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 4)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 4, 4)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 6.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 6.2.1.2.2

Divide $0$ por $32$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- 0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 6.2.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 6.2.1.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = \frac{0 \cdot 1}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{0}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 6.2.1.4

Divide $0$ por $256$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 6.2.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{0}{32}}}{16}$

Paso 6.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.6.1

Divide $0$ por $32$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- 0}}{16}$

Paso 6.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{0}}{16}$

Paso 6.2.1.6.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{1}{16}$

Paso 6.2.2

Resta $\frac{1}{16}$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{16}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{16}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- 4, 4)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- 4, 4)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(4, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2} e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Mueve $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2}}{256 e^{\frac{6^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6) = \frac{6^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 7.2.1.4

Cancela el factor común de $36$ y $32$ .

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Paso 7.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 7.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1.4.2.1

Factoriza $4$ de $32$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 7.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 7.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 7.2.1.5

Factoriza $4$ de $36$ .

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 7.2.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1.6.1

Factoriza $4$ de $256 e^{\frac{9}{8}}$ .

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 7.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 7.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Paso 7.2.1.7

Mueve $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{6^{2}}{32}}}$

Paso 7.2.1.8

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

Paso 7.2.1.9

Cancela el factor común de $36$ y $32$ .

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Paso 7.2.1.9.1

Factoriza $4$ de $36$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

Paso 7.2.1.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1.9.2.1

Factoriza $4$ de $32$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Paso 7.2.1.9.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Paso 7.2.1.9.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

Paso 7.2.2

Para escribir $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $64 e^{\frac{9}{8}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Paso 7.2.5

Resta $4$ de $9$ .

$f'' (6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Paso 7.2.6

La respuesta final es $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(4, \infty)$ porque $f'' (6)$ es positiva.

Convexo en $(4, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 4)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- 4, 4)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(4, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9