Cálculo Ejemplos

$y = 4 x^{3} - 48 x - 1$

Paso 1

Escribe $y = 4 x^{3} - 48 x - 1$ como una función.

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x - 1$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 48 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 48 x$ con respecto a $x$ es $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 48$ por $1$ .

$12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 x^{2} - 48 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $12 x^{2} - 48$ y $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{2} - 48$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 48]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 48]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.3.1

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 48$ con respecto a $x$ es $0$ .

$24 x + 0$

Paso 2.2.3.2

Suma $24 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 24 x$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $24 x$ .

$24 x$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $24 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$24 x = 0$

Paso 3.2

Divide cada término en $24 x = 0$ por $24$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $24 x = 0$ por $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $24$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{24}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $0$ por $24$ .

$x = 0$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = 4 x^{3} - 48 x - 1$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 48 \cdot 0 - 1$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 48 \cdot 0 - 1$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 48 \cdot 0 - 1$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- 48$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 - 1$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = - 1$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = 4 x^{3} - 48 x - 1$ es $(0, - 1)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, - 1)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 24 (- 0.1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $24$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 2.4$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $- 2.4$ .

$- 2.4$

Paso 6.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $- 2.4$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 24 (0.1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $24$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 2.4$

Paso 7.2.2

La respuesta final es $2.4$ .

$2.4$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $2.4$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(0, - 1)$ .

$(0, - 1)$

Paso 9