Cálculo Ejemplos

${(x^{2} - 1)}^{3}$

Paso 1

Escribe ${(x^{2} - 1)}^{3}$ como una función.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.1.1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

Paso 2.1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

Paso 2.1.1.2.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

Paso 2.1.1.2.4.3

Reordena los factores de $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}] + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.4

Diferencia.

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Paso 2.1.2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.4.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.4.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 (x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 (x^{1} x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 (x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 (x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1)$

Paso 2.1.2.10

Multiplica ${(x^{2} - 1)}^{2}$ por $1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Paso 2.1.2.11

Simplifica.

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Paso 2.1.2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Paso 2.1.2.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Paso 2.1.2.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Paso 2.1.2.11.4

Combina los términos.

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Paso 2.1.2.11.4.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.11.4.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Paso 2.1.2.11.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Paso 2.1.2.11.4.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$6 (x^{4} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Paso 2.1.2.11.4.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$6 (4 \cdot x^{4}) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Paso 2.1.2.11.4.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$24 x^{4} + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Paso 2.1.2.11.4.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$24 x^{4} + 6 (x^{2} \cdot - 4) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Paso 2.1.2.11.4.5

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$24 x^{4} + 6 (- 4 \cdot x^{2}) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Paso 2.1.2.11.4.6

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Paso 2.1.2.11.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.11.5.1

Reescribe ${(x^{2} - 1)}^{2}$ como $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1))$

Paso 2.1.2.11.5.2

Expande $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.11.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1))$

Paso 2.1.2.11.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1))$

Paso 2.1.2.11.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Paso 2.1.2.11.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.11.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.11.5.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.11.5.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Paso 2.1.2.11.5.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Paso 2.1.2.11.5.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Paso 2.1.2.11.5.3.1.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Paso 2.1.2.11.5.3.1.4

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Paso 2.1.2.11.5.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1)$

Paso 2.1.2.11.5.3.2

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

Paso 2.1.2.11.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} + 6 (- 2 x^{2}) + 6 \cdot 1$

Paso 2.1.2.11.5.5

Simplifica.

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Paso 2.1.2.11.5.5.1

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

Paso 2.1.2.11.5.5.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6$

Paso 2.1.2.11.6

Suma $24 x^{4}$ y $6 x^{4}$ .

$30 x^{4} - 24 x^{2} - 12 x^{2} + 6$

Paso 2.1.2.11.7

Resta $12 x^{2}$ de $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$ .

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$

Paso 2.2.2

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$30 u^{2} - 36 u + 6 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2.2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $6$ de $30 u^{2} - 36 u + 6$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Factoriza $6$ de $30 u^{2}$ .

$6 (5 u^{2}) - 36 u + 6 = 0$

Paso 2.2.3.1.2

Factoriza $6$ de $- 36 u$ .

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 = 0$

Paso 2.2.3.1.3

Factoriza $6$ de $6$ .

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 (1) = 0$

Paso 2.2.3.1.4

Factoriza $6$ de $6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u)$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1) = 0$

Paso 2.2.3.1.5

Factoriza $6$ de $6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1)$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

Paso 2.2.3.2

Factoriza.

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Paso 2.2.3.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.3.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ y cuya suma es $b = - 6$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1.1

Factoriza $- 6$ de $- 6 u$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

Paso 2.2.3.2.1.1.2

Reescribe $- 6$ como $- 1$ más $- 5$

$6 (5 u^{2} + (- 1 - 5) u + 1) = 0$

Paso 2.2.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (5 u^{2} - 1 u - 5 u + 1) = 0$

Paso 2.2.3.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.3.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$6 ((5 u^{2} - 1 u) - 5 u + 1) = 0$

Paso 2.2.3.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$6 (u (5 u - 1) - (5 u - 1)) = 0$

Paso 2.2.3.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 u - 1$ .

$6 ((5 u - 1) (u - 1)) = 0$

Paso 2.2.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$

Paso 2.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Paso 2.2.5

Establece $5 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.2.5.1

Establece $5 u - 1$ igual a $0$ .

$5 u - 1 = 0$

Paso 2.2.5.2

Resuelve $5 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$5 u = 1$

Paso 2.2.5.2.2

Divide cada término en $5 u = 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.2.5.2.2.1

Divide cada término en $5 u = 1$ por $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 2.2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 2.2.5.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{5}$

Paso 2.2.6

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.2.6.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 2.2.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 2.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{5}, 1$

Paso 2.2.8

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Paso 2.2.9

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{5}$

Paso 2.2.10

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.10.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Paso 2.2.10.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 2.2.10.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{5}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.2.10.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Paso 2.2.10.2.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 2.2.10.2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.2.10.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 2.2.10.2.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 2.2.10.2.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 2.2.10.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 2.2.10.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 2.2.10.2.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.2.10.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.10.2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.10.2.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.10.2.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.10.2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.10.2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 2.2.10.2.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 2.2.10.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.10.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 2.2.10.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 2.2.10.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 2.2.11

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Paso 2.2.12

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.12.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 1$

Paso 2.2.12.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 2.2.12.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 2.2.12.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.12.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 2.2.12.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 2.2.12.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 2.2.13

La solución a $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ es $x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ .

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{5}, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = 30 {(- 4)}^{4} - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 4) = 30 \cdot 256 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $30$ por $256$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 36$ por $16$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 576 + 6$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Resta $576$ de $7680$ .

$f'' (- 4) = 7104 + 6$

Paso 5.2.2.2

Suma $7104$ y $6$ .

$f'' (- 4) = 7110$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $7110$ .

$7110$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.72$ en la expresión.

$f'' (- 0.72) = 30 {(- 0.72)}^{4} - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.72$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $30$ por $0.26873856$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 0.72$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 36$ por $0.5184$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Resta $18.6624$ de $8.0621568$ .

$f'' (- 0.72) = - 10.6002432 + 6$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 10.6002432$ y $6$ .

$f'' (- 0.72) = - 4.6002432$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 4.6002432$ .

$- 4.6002432$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ porque $f'' (- 0.72)$ es negativa.

Cóncavo en $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 30 {(0)}^{4} - 36 {(0)}^{2} + 6$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 30 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $30$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

Paso 7.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 6$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 36$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 6$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Paso 7.2.2.2

Suma $0$ y $6$ .

$f'' (0) = 6$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.72$ en la expresión.

$f'' (0.72) = 30 {(0.72)}^{4} - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $0.72$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $30$ por $0.26873856$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

Paso 8.2.1.3

Eleva $0.72$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 36$ por $0.5184$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 8.2.2.1

Resta $18.6624$ de $8.0621568$ .

$f'' (0.72) = - 10.6002432 + 6$

Paso 8.2.2.2

Suma $- 10.6002432$ y $6$ .

$f'' (0.72) = - 4.6002432$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 4.6002432$ .

$- 4.6002432$

Paso 8.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ porque $f'' (0.72)$ es negativa.

Cóncavo en $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 9

Sustituye cualquier número del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = 30 {(4)}^{4} - 36 {(4)}^{2} + 6$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f'' (4) = 30 \cdot 256 - 36 {(4)}^{2} + 6$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $30$ por $256$ .

$f'' (4) = 7680 - 36 {(4)}^{2} + 6$

Paso 9.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

Paso 9.2.1.4

Multiplica $- 36$ por $16$ .

$f'' (4) = 7680 - 576 + 6$

Paso 9.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Resta $576$ de $7680$ .

$f'' (4) = 7104 + 6$

Paso 9.2.2.2

Suma $7104$ y $6$ .

$f'' (4) = 7110$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $7110$ .

$7110$

Paso 9.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ es positiva.

Convexo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 10

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 11