Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 2 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $4 x^{3} - 4 x$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 1.1.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} - 4 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$12 x^{2} = 4$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $12 x^{2} = 4$ por $12$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $12 x^{2} = 4$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 1.2.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Paso 1.2.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Paso 1.2.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Paso 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.2.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 1.2.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 1.2.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 1.2.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f'' (- 3) = 12 {(- 3)}^{2} - 4$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3) = 12 \cdot 9 - 4$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $12$ por $9$ .

$f'' (- 3) = 108 - 4$

Paso 4.2.2

Resta $4$ de $108$ .

$f'' (- 3) = 104$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $104$ .

$104$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ porque $f'' (- 3)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Paso 5.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = 12 {(3)}^{2} - 4$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3) = 12 \cdot 9 - 4$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $9$ .

$f'' (3) = 108 - 4$

Paso 6.2.2

Resta $4$ de $108$ .

$f'' (3) = 104$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $104$ .

$104$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ porque $f'' (3)$ es positiva.

Convexo en $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8