Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Paso 1.1.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 1.1.2.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.2.6.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$2 x^{- 3} + 0$

Paso 1.1.2.2.6.2

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$2 x^{- 3}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica.

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Paso 1.1.2.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.1.2.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 2.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ y ${(- 2)}^{3}$ .

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Paso 4.2.1.1

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Factoriza $- 2$ de $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Paso 4.2.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.3.1

Factoriza $- 2$ de ${(- 2)}^{3}$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Paso 4.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

Paso 4.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ y ${(2)}^{3}$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.2.1

Factoriza $2$ de ${(2)}^{3}$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Paso 5.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Paso 5.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

Paso 5.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ es positiva.

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7