Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $\frac{1}{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 + x^{2})}^{- 1})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Paso 1.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 1.1.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 1.1.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 1.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Paso 1.1.1.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Paso 1.1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Paso 1.1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Paso 1.1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Paso 1.1.1.4.2.3

Combina $x$ y $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.2

Factoriza $1 + x^{2}$ de ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

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Paso 1.1.2.5.2.1

Factoriza $1 + x^{2}$ de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.2.2

Factoriza $1 + x^{2}$ de $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.2.3

Factoriza $1 + x^{2}$ de $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Paso 1.1.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza $1 + x^{2}$ de ${(1 + x^{2})}^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.11

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.15

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.16

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.17

Combina $- 2$ y $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{(2) (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.19

Simplifica.

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Paso 1.1.2.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.19.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.19.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.19.2.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.19.3

Factoriza $2$ de $2 - 6 x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.19.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.19.3.2

Factoriza $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.2.19.3.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (1 - 3 x^{2}) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1.1

Divide cada término en $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.1.2.1.2

Divide $1 - 3 x^{2}$ por $1$ .

$1 - 3 x^{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$1 - 3 x^{2} = 0$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{2} = - 1$

Paso 1.2.3.3

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - 1$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 1.2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 1.2.3.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 1.2.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Paso 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.3.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.2.3.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.3.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.3.5.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.3.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.3.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.3.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 1.2.3.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.3.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 1.2.3.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.2.3.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.3.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.3.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.3.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 1.2.3.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{1}{1 + x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 + x^{2} = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 2.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 2.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 2.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 2.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 3 {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 3$ por ${(- 3)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 3$ por ${(- 3)}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + (- 3) {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Paso 4.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{1 + 2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{3})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Paso 4.2.2.2

Resta $27$ de $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Paso 4.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.3.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Paso 4.2.3.2

Suma $1$ y $9$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Paso 4.2.3.3

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Paso 4.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 26$ .

$f'' (- 3) = - \frac{- 52}{1000}$

Paso 4.2.4.2

Cancela el factor común de $- 52$ y $1000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.2.1

Factoriza $4$ de $- 52$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Paso 4.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.2.2.1

Factoriza $4$ de $1000$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Paso 4.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Paso 4.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 3) = - \frac{- 13}{250}$

Paso 4.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 3) = \frac{13}{250}$

Paso 4.2.5

La respuesta final es $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ porque $f'' (- 3)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 {(0)}^{2})}{{(1 + {(0)}^{2})}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 + 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Paso 5.2.3.2

Divide $2$ por $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 {(3)}^{2})}{{(1 + {(3)}^{2})}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 9)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Resta $27$ de $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $1$ y $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 26$ .

$f'' (3) = - \frac{- 52}{1000}$

Paso 6.2.3.2

Cancela el factor común de $- 52$ y $1000$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $- 52$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $1000$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Paso 6.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Paso 6.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (3) = - \frac{- 13}{250}$

Paso 6.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (3) = \frac{13}{250}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ porque $f'' (3)$ es positiva.

Convexo en $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8