Cálculo Ejemplos

Hallar la concavidad f(x)=1/2x^4-4x^2
Paso 1
Find the values where the second derivative is equal to .
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Paso 1.1
Obtener la segunda derivada.
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Paso 1.1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.2
Evalúa .
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Paso 1.1.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.2.3
Combina y .
Paso 1.1.1.2.4
Combina y .
Paso 1.1.1.2.5
Cancela el factor común de y .
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Paso 1.1.1.2.5.1
Factoriza de .
Paso 1.1.1.2.5.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 1.1.1.2.5.2.1
Factoriza de .
Paso 1.1.1.2.5.2.2
Cancela el factor común.
Paso 1.1.1.2.5.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 1.1.1.2.5.2.4
Divide por .
Paso 1.1.1.3
Evalúa .
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Paso 1.1.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.1.3.3
Multiplica por .
Paso 1.1.2
Obtener la segunda derivada.
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Paso 1.1.2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.2
Evalúa .
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Paso 1.1.2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.2.2.3
Multiplica por .
Paso 1.1.2.3
Evalúa .
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Paso 1.1.2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.2.3.3
Multiplica por .
Paso 1.1.3
La segunda derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Establece la segunda derivada igual a luego resuelve la ecuación .
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Paso 1.2.1
Establece la segunda derivada igual a .
Paso 1.2.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 1.2.3
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 1.2.3.1
Divide cada término en por .
Paso 1.2.3.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 1.2.3.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 1.2.3.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 1.2.3.2.1.2
Divide por .
Paso 1.2.3.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 1.2.3.3.1
Cancela el factor común de y .
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Paso 1.2.3.3.1.1
Factoriza de .
Paso 1.2.3.3.1.2
Cancela los factores comunes.
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Paso 1.2.3.3.1.2.1
Factoriza de .
Paso 1.2.3.3.1.2.2
Cancela el factor común.
Paso 1.2.3.3.1.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 1.2.4
Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.
Paso 1.2.5
Simplifica .
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Paso 1.2.5.1
Reescribe como .
Paso 1.2.5.2
Simplifica el numerador.
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Paso 1.2.5.2.1
Reescribe como .
Paso 1.2.5.2.2
Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.
Paso 1.2.5.3
Multiplica por .
Paso 1.2.5.4
Combina y simplifica el denominador.
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Paso 1.2.5.4.1
Multiplica por .
Paso 1.2.5.4.2
Eleva a la potencia de .
Paso 1.2.5.4.3
Eleva a la potencia de .
Paso 1.2.5.4.4
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.2.5.4.5
Suma y .
Paso 1.2.5.4.6
Reescribe como .
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Paso 1.2.5.4.6.1
Usa para reescribir como .
Paso 1.2.5.4.6.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 1.2.5.4.6.3
Combina y .
Paso 1.2.5.4.6.4
Cancela el factor común de .
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Paso 1.2.5.4.6.4.1
Cancela el factor común.
Paso 1.2.5.4.6.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 1.2.5.4.6.5
Evalúa el exponente.
Paso 1.2.6
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
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Paso 1.2.6.1
Primero, usa el valor positivo de para obtener la primera solución.
Paso 1.2.6.2
Luego, usa el valor negativo de para obtener la segunda solución.
Paso 1.2.6.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Paso 2
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Notación de intervalo:
Notación del constructor de conjuntos:
Paso 3
Crea intervalos alrededor de los valores de donde la segunda derivada es cero o indefinida.
Paso 4
Sustituye cualquier número del intervalo en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.
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Paso 4.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 4.2
Simplifica el resultado.
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Paso 4.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 4.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 4.2.1.2
Multiplica por .
Paso 4.2.2
Resta de .
Paso 4.2.3
La respuesta final es .
Paso 4.3
La gráfica es convexa en el intervalo porque es positiva.
Convexo en dado que es positivo
Convexo en dado que es positivo
Paso 5
Sustituye cualquier número del intervalo en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.
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Paso 5.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 5.2
Simplifica el resultado.
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Paso 5.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 5.2.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 5.2.1.2
Multiplica por .
Paso 5.2.2
Resta de .
Paso 5.2.3
La respuesta final es .
Paso 5.3
La gráfica es cóncava en el intervalo porque es negativa.
Cóncavo en dado que es negativo
Cóncavo en dado que es negativo
Paso 6
Sustituye cualquier número del intervalo en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.
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Paso 6.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 6.2
Simplifica el resultado.
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Paso 6.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 6.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 6.2.1.2
Multiplica por .
Paso 6.2.2
Resta de .
Paso 6.2.3
La respuesta final es .
Paso 6.3
La gráfica es convexa en el intervalo porque es positiva.
Convexo en dado que es positivo
Convexo en dado que es positivo
Paso 7
La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.
Convexo en dado que es positivo
Cóncavo en dado que es negativo
Convexo en dado que es positivo
Paso 8