Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 1$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.7

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.5.1

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

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Paso 1.1.1.3.5.1.1

Resta $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) + 0 - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.1.2

Suma $2 \cdot - 4 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.5.2.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.3

Resta $2 x$ de $- 8 x$ .

$f' (x) = \frac{- 10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1.3.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.7.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$f' (x) = - \frac{10 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.7.3

Aplica la regla del producto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.3.2

Multiplica ${(x + 2)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x + 2)}^{2}$ y $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Diferencia.

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Paso 1.1.2.6.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x + 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 2)}^{2} (x - 2)) \frac{d}{d x} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + 0) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) \cdot 1 + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 1.1.2.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 (x + 2) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Diferencia.

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Paso 1.1.2.8.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 \cdot ({(x - 2)}^{2} (x + 2)) \frac{d}{d x} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + 0))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.5

Combina fracciones.

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Paso 1.1.2.8.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) \cdot 1)}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.5.3

Combina $- 10$ y $\frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.8.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{(10) ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Simplifica.

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Paso 1.1.2.9.1

Aplica la regla del producto a ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)) - x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}) + 10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.9.4.1

Factoriza $10 (x + 2) (x - 2)$ de $10 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ .

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Paso 1.1.2.9.4.1.1

Factoriza $10 (x + 2) (x - 2)$ de $10 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.1.2

Factoriza $10 (x + 2) (x - 2)$ de $10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.1.3

Factoriza $10 (x + 2) (x - 2)$ de $10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.1.4

Factoriza $10 (x + 2) (x - 2)$ de $10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.1.5

Factoriza $10 (x + 2) (x - 2)$ de $10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2)) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.2

Combina exponentes.

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Paso 1.1.2.9.4.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.4.3.1

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.4.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x (x - 2) + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.4.3.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.2.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.2.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.4.3.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.3.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.4.3.5.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.6

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.8

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.4.3.8.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.3.9

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.4

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.4.4.1

Suma $- 4 x$ y $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.4.2

Suma $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.5

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 4 - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.4.6

Resta $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.5.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{2 \cdot 2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.5.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.5.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.9.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.9.5.3

Cancela el factor común de $x + 2$ y ${(x + 2)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.5.3.1

Factoriza $x + 2$ de $10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.9.5.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.5.3.2.1

Factoriza $x + 2$ de ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Paso 1.1.2.9.5.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Paso 1.1.2.9.5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{(10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.9.5.4

Cancela el factor común de $x - 2$ y ${(x - 2)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.5.4.1

Factoriza $x - 2$ de $10 (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (10 (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.9.5.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.5.4.2.1

Factoriza $x - 2$ de ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (10 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Paso 1.1.2.9.5.4.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (10 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Paso 1.1.2.9.5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.9.6

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.9.7

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.9.8

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (4)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.9.9

Reescribe $- (3 x^{2} + 4)$ como $- 1 (3 x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 1 (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.9.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2.9.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}})$

Paso 1.1.2.9.12

Multiplica $\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$10 (3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $10 (3 x^{2} + 4) = 0$ por $10$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.1

Divide cada término en $10 (3 x^{2} + 4) = 0$ por $10$ .

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Paso 1.2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Paso 1.2.3.1.2.1.2

Divide $3 x^{2} + 4$ por $1$ .

$3 x^{2} + 4 = \frac{0}{10}$

Paso 1.2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.3.1

Divide $0$ por $10$ .

$3 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.2.3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = - 4$

Paso 1.2.3.3

Divide cada término en $3 x^{2} = - 4$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 1.2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 1.2.3.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{3}$

Paso 1.2.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Paso 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Paso 1.2.3.5

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.5.1

Reescribe $- \frac{4}{3}$ como $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.5.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Paso 1.2.3.5.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Paso 1.2.3.5.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Paso 1.2.3.5.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Paso 1.2.3.5.4

Reescribe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.3.5.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.5.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.3.5.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.3.5.6

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Paso 1.2.3.5.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.5.7.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.3.5.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.3.5.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 1.2.3.5.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.3.5.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 1.2.3.5.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.2.3.5.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.3.5.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.5.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.3.5.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.5.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.3.5.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 1.2.3.5.7.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.3.5.8

Combina $i$ y $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Paso 1.2.3.5.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 4$

Paso 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 2.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 2.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 2.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = \frac{10 (3 {(- 4)}^{2} + 4)}{{((- 4) + 2)}^{3} {((- 4) - 2)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 (3 \cdot 16 + 4)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 (48 + 4)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Paso 4.2.1.3

Suma $48$ y $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Suma $- 4$ y $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Paso 4.2.2.2

Resta $2$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(- 6)}^{3}}$

Paso 4.2.2.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{- 8 {(- 6)}^{3}}$

Paso 4.2.2.4

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{- 8 \cdot - 216}$

Paso 4.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Multiplica $10$ por $52$ .

$f'' (- 4) = \frac{520}{- 8 \cdot - 216}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $- 8$ por $- 216$ .

$f'' (- 4) = \frac{520}{1728}$

Paso 4.2.3.3

Cancela el factor común de $520$ y $1728$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.3.1

Factoriza $8$ de $520$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 (65)}{1728}$

Paso 4.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.3.2.1

Factoriza $8$ de $1728$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Paso 4.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Paso 4.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 4) = \frac{65}{216}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $\frac{65}{216}$ .

$\frac{65}{216}$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 2)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 2, 2)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{10 (3 {(0)}^{2} + 4)}{{((0) + 2)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{10 (3 \cdot 0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{10 (0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Suma $0$ y $4$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Reescribe $0$ como $- 1 (0)$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1 \cdot 0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 5.2.2.4

Aplica la regla del producto a $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1)}^{3} \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Paso 5.2.2.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Paso 5.2.2.6

Multiplica ${(0 - 2)}^{3}$ por ${(0 - 2)}^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.6.1

Mueve ${(0 - 2)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Paso 5.2.2.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3}}$

Paso 5.2.2.6.3

Suma $3$ y $3$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Paso 5.2.3

Multiplica $10$ por $4$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Resta $2$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 1 {(- 2)}^{6}}$

Paso 5.2.4.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $6$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 1 \cdot 64}$

Paso 5.2.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 64}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $40$ y $- 64$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.2.1

Factoriza $8$ de $40$ .

$f'' (0) = \frac{8 (5)}{- 64}$

Paso 5.2.5.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.2.2.1

Factoriza $8$ de $- 64$ .

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot - 8}$

Paso 5.2.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot - 8}$

Paso 5.2.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{5}{- 8}$

Paso 5.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = - \frac{5}{8}$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $- \frac{5}{8}$ .

$- \frac{5}{8}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- 2, 2)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- 2, 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = \frac{10 (3 {(4)}^{2} + 4)}{{((4) + 2)}^{3} {((4) - 2)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = \frac{10 (3 \cdot 16 + 4)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f'' (4) = \frac{10 (48 + 4)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Suma $48$ y $4$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Suma $4$ y $2$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{6^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $2$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{6^{3} \cdot 2^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{216 \cdot 2^{3}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{216 \cdot 8}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Multiplica $10$ por $52$ .

$f'' (4) = \frac{520}{216 \cdot 8}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $216$ por $8$ .

$f'' (4) = \frac{520}{1728}$

Paso 6.2.3.3

Cancela el factor común de $520$ y $1728$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.3.1

Factoriza $8$ de $520$ .

$f'' (4) = \frac{8 (65)}{1728}$

Paso 6.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.3.2.1

Factoriza $8$ de $1728$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Paso 6.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Paso 6.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (4) = \frac{65}{216}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{65}{216}$ .

$\frac{65}{216}$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ es positiva.

Convexo en $(2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 2)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- 2, 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8