Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(x - 4)}^{2}$ y $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 4$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - 4$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 4$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4

Diferencia.

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Paso 1.1.1.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{2} (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + 0) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) \cdot 1 - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 1.1.1.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.6

Diferencia.

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Paso 1.1.1.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.6.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.6.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.6.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \cdot 1)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.6.5.2

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.7

Simplifica.

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Paso 1.1.1.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.7.1.1

Factoriza $2 (x - 2) (x - 4)$ de $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ .

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Paso 1.1.1.7.1.1.1

Factoriza $2 (x - 2) (x - 4)$ de $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4)$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.7.1.1.2

Factoriza $2 (x - 2) (x - 4)$ de $- 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.7.1.1.3

Factoriza $2 (x - 2) (x - 4)$ de $2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x - - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.7.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.7.1.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (0 - 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.7.1.5

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (- 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.7.1.6

Suma $- 2$ y $4$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) \cdot 2}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.7.1.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 (x - 2) (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.7.2

Cancela el factor común de $x - 2$ y ${(x - 2)}^{4}$ .

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Paso 1.1.1.7.2.1

Factoriza $x - 2$ de $4 (x - 2) (x - 4)$ .

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.1.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.7.2.2.1

Factoriza $x - 2$ de ${(x - 2)}^{4}$ .

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.1.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.1.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$

Paso 1.1.2.2

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 1.1.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 1.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 1.1.2.3.4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 1.1.2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 1.1.2.3.5.2

Multiplica ${(x - 2)}^{3}$ por $1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 1.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 1.1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.2.5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 1.1.2.5.2

Factoriza ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

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Paso 1.1.2.5.2.1

Factoriza ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x - 2)}^{3}$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 1.1.2.5.2.2

Factoriza ${(x - 2)}^{2}$ de $- 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 1.1.2.5.2.3

Factoriza ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 1.1.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x - 2)}^{6}$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.6.3

Reescribe la expresión.

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.9

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.10

Combina fracciones.

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Paso 1.1.2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.10.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.10.3

Combina $4$ y $\frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$\frac{4 (x - 2 - 3 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11

Simplifica.

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Paso 1.1.2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (x - 2 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x + 4 \cdot - 2 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.11.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.11.3.1.1

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{4 x - 8 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.3.1.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.3.1.3

Multiplica $4 (- 3 \cdot - 4)$ .

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Paso 1.1.2.11.3.1.3.1

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 \cdot 12}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.3.1.3.2

Multiplica $4$ por $12$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.3.2

Resta $12 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 8 x - 8 + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.3.3

Suma $- 8$ y $48$ .

$\frac{- 8 x + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.4

Factoriza $8$ de $- 8 x + 40$ .

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Paso 1.1.2.11.4.1

Factoriza $8$ de $- 8 x$ .

$\frac{8 (- x) + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.4.2

Factoriza $8$ de $40$ .

$\frac{8 (- x) + 8 (5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.4.3

Factoriza $8$ de $8 (- x) + 8 (5)$ .

$\frac{8 (- x + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.6

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{8 (- (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.8

Reescribe $- (x - 5)$ como $- 1 (x - 5)$ .

$\frac{8 (- 1 (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.2.11.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 (x - 5) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $8 (x - 5) = 0$ por $8$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.1

Divide cada término en $8 (x - 5) = 0$ por $8$ .

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

Paso 1.2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

Paso 1.2.3.1.2.1.2

Divide $x - 5$ por $1$ .

$x - 5 = \frac{0}{8}$

Paso 1.2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1.3.1

Divide $0$ por $8$ .

$x - 5 = 0$

Paso 1.2.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 2)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{8 ((0) - 5)}{{((0) - 2)}^{4}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Resta $5$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(0 - 2)}^{4}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Resta $2$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(- 2)}^{4}}$

Paso 4.2.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{16}$

Paso 4.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Multiplica $8$ por $- 5$ .

$f'' (0) = - \frac{- 40}{16}$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común de $- 40$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.2.1

Factoriza $8$ de $- 40$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (- 5)}{16}$

Paso 4.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.2.2.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

Paso 4.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

Paso 4.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = - \frac{- 5}{2}$

Paso 4.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0) = \frac{5}{2}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, 2)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, 2)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(2, 5)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = - \frac{8 ((4) - 5)}{{((4) - 2)}^{4}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Resta $5$ de $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{{(4 - 2)}^{4}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Resta $2$ de $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{2^{4}}$

Paso 5.2.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{16}$

Paso 5.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f'' (4) = - \frac{- 8}{16}$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $16$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$f'' (4) = - \frac{8 (- 1)}{16}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.2.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

Paso 5.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

Paso 5.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (4) = - \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (4) = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(2, 5)$ porque $f'' (4)$ es positiva.

Convexo en $(2, 5)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(5, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f'' (8) = - \frac{8 ((8) - 5)}{{((8) - 2)}^{4}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Resta $5$ de $8$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{{(8 - 2)}^{4}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Resta $2$ de $8$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{6^{4}}$

Paso 6.2.2.2

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{1296}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $8$ por $3$ .

$f'' (8) = - \frac{24}{1296}$

Paso 6.2.3.2

Cancela el factor común de $24$ y $1296$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $24$ de $24$ .

$f'' (8) = - \frac{24 (1)}{1296}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.2.1

Factoriza $24$ de $1296$ .

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

Paso 6.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

Paso 6.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (8) = - \frac{1}{54}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{1}{54}$ .

$- \frac{1}{54}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(5, \infty)$ porque $f'' (8)$ es negativa.

Cóncavo en $(5, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, 2)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Convexo en $(2, 5)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(5, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8