Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

$2 \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 3$ .

$2 \frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.6

Suma $1$ y $2$ .

$2 \frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.7

Combina $2$ y $\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 (2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.8

Simplifica.

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Paso 1.1.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.8.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.8.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.8.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.8.4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{1} x^{2})) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.4.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.4.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot 3 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.4.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 (6 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.4.1.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 12 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.4.1.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 12 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.4.2

Combina los términos opuestos en $4 x^{3} + 12 x - 4 x^{3}$ .

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Paso 1.1.1.8.4.2.1

Resta $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.8.4.2.2

Suma $12 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Paso 1.1.2.2

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 3)}^{2}$ por $1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 3$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 1.1.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 3$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$12 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.2

Factoriza $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

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Paso 1.1.2.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.2.2

Factoriza $x^{2} + 3$ de $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 1.1.2.5.2.3

Factoriza $x^{2} + 3$ de $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Paso 1.1.2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.6.1

Factoriza $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.6.2

Cancela el factor común.

$12 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.6.3

Reescribe la expresión.

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.14

Suma $1$ y $1$ .

$12 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$12 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.16

Combina $12$ y $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{12 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.17

Simplifica.

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Paso 1.1.2.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (- 3 x^{2}) + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.17.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.17.2.1

Multiplica $- 3$ por $12$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 12 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.2.17.2.2

Multiplica $12$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 36 x^{2} + 36 = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$- 36 x^{2} = - 36$

Paso 1.2.3.2

Divide cada término en $- 36 x^{2} = - 36$ por $- 36$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Divide cada término en $- 36 x^{2} = - 36$ por $- 36$ .

$\frac{- 36 x^{2}}{- 36} = \frac{- 36}{- 36}$

Paso 1.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 36$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 36 x^{2}}{- 36} = \frac{- 36}{- 36}$

Paso 1.2.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 36}{- 36}$

Paso 1.2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.3.1

Divide $- 36$ por $- 36$ .

$x^{2} = 1$

Paso 1.2.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 1.2.3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 1.2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 1.2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 1.2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 3}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 3 = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 3$

Paso 2.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Paso 2.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Paso 2.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Paso 2.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{3}$

Paso 2.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 2.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 2.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = \frac{- 36 {(- 4)}^{2} + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 36 \cdot 16 + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 36$ por $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 576 + 36}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 4.2.1.3

Suma $- 576$ y $36$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{{({(- 4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{{(16 + 3)}^{3}}$

Paso 4.2.2.2

Suma $16$ y $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{19^{3}}$

Paso 4.2.2.3

Eleva $19$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 540}{6859}$

Paso 4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 4) = - \frac{540}{6859}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $- \frac{540}{6859}$ .

$- \frac{540}{6859}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 1, 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{- 36 {(0)}^{2} + 36}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 36 \cdot 0 + 36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 36$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 5.2.1.3

Suma $0$ y $36$ .

$f'' (0) = \frac{36}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{36}{{(0 + 3)}^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$f'' (0) = \frac{36}{3^{3}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0) = \frac{36}{27}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $36$ y $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Factoriza $9$ de $36$ .

$f'' (0) = \frac{9 (4)}{27}$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = \frac{4}{3}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 1, 1)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- 1, 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = \frac{- 36 {(4)}^{2} + 36}{{({(4)}^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 36 \cdot 16 + 36}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 36$ por $16$ .

$f'' (4) = \frac{- 576 + 36}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 6.2.1.3

Suma $- 576$ y $36$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{{(4^{2} + 3)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{{(16 + 3)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $16$ y $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{19^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $19$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4) = \frac{- 540}{6859}$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (4) = - \frac{540}{6859}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- \frac{540}{6859}$ .

$- \frac{540}{6859}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ es negativa.

Cóncavo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 1, 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8