Cálculo Ejemplos

$y = - x^{2} + x$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

Paso 2.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.2.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - ((x + h) (x + h)) + x + h$

Paso 2.1.2.2.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - (x (x + h) + h (x + h)) + x + h$

Paso 2.1.2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h$

Paso 2.1.2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Paso 2.1.2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Paso 2.1.2.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h$

Paso 2.1.2.2.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.2.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h$

Paso 2.1.2.2.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h$

Paso 2.1.2.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = - x^{2} - (2 h x) - h^{2} + x + h$

Paso 2.1.2.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $x$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + h + x$

Paso 2.2.2

Mueve $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + h + x$

Paso 2.2.3

Reordena $- 2 h x$ y $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x - (- x^{2} + x)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- - x^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + 1 x^{2} - x}{h}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

Paso 4.1.3

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x + 0 - x}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $- h^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x - x}{h}$

Paso 4.1.5

Resta $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + 0}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $- h^{2} - 2 h x + h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h}{h}$

Paso 4.1.7

Factoriza $h$ de $- h^{2} - 2 h x + h$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $h$ de $- h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x + h}{h}$

Paso 4.1.7.2

Factoriza $h$ de $- 2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

Paso 4.1.7.3

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

Paso 4.1.7.4

Factoriza $h$ de $h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.7.5

Factoriza $h$ de $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 1}{h}$

Paso 4.1.7.6

Factoriza $h$ de $h (- h - 2 x) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $- h - 2 x + 1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x + 1$

Paso 4.2.2

Reordena $- h$ y $- 2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h + 1$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Paso 6

Evalúa el límite de $2 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Paso 7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + 1$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- 2 x + 0 + 1$

Paso 8.2

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$- 2 x + 1$

Paso 9