Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x + 4$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 2 (x + h) + 4$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 2 x + 2 h + 4$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $2 x + 2 h + 4$ .

$2 x + 2 h + 4$

Paso 2.2

Reordena $2 x$ y $2 h$ .

$2 h + 2 x + 4$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 2 h + 2 x + 4$

$f (x) = 2 x + 4$

$f (x + h) = 2 h + 2 x + 4$

$f (x) = 2 x + 4$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - (2 x + 4)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x + 4$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - (2 (x) + 4)}{h}$

Paso 4.1.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - (2 x + 2 \cdot 2)}{h}$

Paso 4.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - (2 (x + 2))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - 1 \cdot (2 (x + 2))}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - 2 (x + 2)}{h}$

Paso 4.1.3

Factoriza $2$ de $2 h + 2 x + 4 - 2 (x + 2)$ .

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Paso 4.1.3.1

Factoriza $2$ de $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x + 4 - 2 (x + 2)}{h}$

Paso 4.1.3.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 4 - 2 (x + 2)}{h}$

Paso 4.1.3.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 2 (2) - 2 (x + 2)}{h}$

Paso 4.1.3.4

Factoriza $2$ de $- 2 (x + 2)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 (x) + 2 (2) + 2 (- (x + 2))}{h}$

Paso 4.1.3.5

Factoriza $2$ de $2 h + 2 (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x) + 2 (2) + 2 (- (x + 2))}{h}$

Paso 4.1.3.6

Factoriza $2$ de $2 (h + x) + 2 (2)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 2) + 2 (- (x + 2))}{h}$

Paso 4.1.3.7

Factoriza $2$ de $2 (h + x + 2) + 2 (- (x + 2))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 2 - (x + 2))}{h}$

Paso 4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 2 - x - 1 \cdot 2)}{h}$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + x + 2 - x - 2)}{h}$

Paso 4.1.6

Resta $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 0 + 2 - 2)}{h}$

Paso 4.1.7

Suma $h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 2 - 2)}{h}$

Paso 4.1.8

Resta $2$ de $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (h + 0)}{h}$

Paso 4.1.9

Suma $h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{h}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{h}$

Paso 4.2.2

Divide $2$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2$

Paso 5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$2$

Paso 6