Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

Paso 2.1.2.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

Paso 2.1.2.4

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Paso 2.1.2.5

La respuesta final es $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ .

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

Paso 2.2.2

Mueve $x$ .

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

Paso 2.2.3

Mueve $2 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

Paso 2.2.4

Mueve $6 h x^{2}$ .

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Paso 2.2.5

Reordena $6 h^{2} x$ y $2 h^{3}$ .

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Paso 4.1.2

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

Paso 4.1.3

Suma $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.4

Factoriza $2 h$ de $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $2 h$ de $2 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.4.2

Factoriza $2 h$ de $6 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.4.3

Factoriza $2 h$ de $6 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Paso 4.1.4.4

Factoriza $2 h$ de $2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

Paso 4.1.4.5

Factoriza $2 h$ de $2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

Paso 4.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

Paso 4.4

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

Paso 4.5

Mueve $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

Paso 4.6

Reordena $6 x h$ y $6 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Paso 6

Evalúa el límite de $6 x^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Paso 7

Mueve el término $6 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

Paso 8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 lim_{h \to 0} h^{2}$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Multiplica $6 x \cdot 0$ .

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Paso 11.1.1.1

Multiplica $0$ por $6$ .

$6 x^{2} + 0 x + 2 \cdot 0^{2}$

Paso 11.1.1.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0^{2}$

Paso 11.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0$

Paso 11.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$6 x^{2} + 0 + 0$

Paso 11.2

Combina los términos opuestos en $6 x^{2} + 0 + 0$ .

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Paso 11.2.1

Suma $6 x^{2}$ y $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Paso 11.2.2

Suma $6 x^{2}$ y $0$ .

$6 x^{2}$

Paso 12