Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{2}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h))$

Paso 2.1.2.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Paso 2.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2}$

Paso 2.1.2.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

Paso 2.1.2.6

La respuesta final es $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2}$

Paso 2.2.2

Reordena $6 h x$ y $3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - (3 x^{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 3 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.2

Resta $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}$

Paso 4.1.3

Suma $3 h^{2} + 6 h x$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}$

Paso 4.1.4

Factoriza $3 h$ de $3 h^{2} + 6 h x$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $3 h$ de $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}$

Paso 4.1.4.2

Factoriza $3 h$ de $6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}$

Paso 4.1.4.3

Factoriza $3 h$ de $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $3 (h + 2 x)$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x)$

Paso 4.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x$

Paso 4.2.3.2

Reordena $3 h$ y $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $6 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

Paso 5.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h$

Paso 6

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$6 x + 3 \cdot 0$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$6 x + 0$

Paso 7.2

Suma $6 x$ y $0$ .

$6 x$

Paso 8