Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + 1$ , $[2, 3]$

Paso 1

Obtén la derivada de $f (x) = x^{3} + 1$ .

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 1.1.4

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

$f' (x)$ es continua en $[2, 3]$ .

$f' (x)$ es continua

Paso 4

El valor promedio de una función $f'$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 5

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\int_{2}^{3} 3 x^{2} d x)$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 \int_{2}^{3} x^{2} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}))$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}))$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $3$ y en $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}))$

Paso 8.2.2

Simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 8.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

Paso 8.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}))$

Paso 8.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Paso 8.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}))$

Paso 8.2.2.2.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{2^{3}}{3}))$

Paso 8.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{8}{3}))$

Paso 8.2.2.4

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}))$

Paso 8.2.2.5

Combina $9$ y $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}))$

Paso 8.2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3 - 8}{3}))$

Paso 8.2.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.7.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27 - 8}{3}))$

Paso 8.2.2.7.2

Resta $8$ de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{19}{3}))$

Paso 8.2.2.8

Combina $3$ y $\frac{19}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Paso 8.2.2.9

Multiplica $3$ por $19$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{57}{3})$

Paso 8.2.2.10

Cancela el factor común de $57$ y $3$ .

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Paso 8.2.2.10.1

Factoriza $3$ de $57$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

Paso 8.2.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.10.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 (1)})$

Paso 8.2.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1})$

Paso 8.2.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{19}{1})$

Paso 8.2.2.10.2.4

Divide $19$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (19)$

Paso 9

Resta $2$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Paso 10

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 10.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

Paso 10.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = 1 \cdot 19$

Paso 11

Multiplica $19$ por $1$ .

$A (x) = 19$

Paso 12