Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Paso 1

Obtén la derivada de $f (x) = 2 \sqrt{x}$ .

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.1.10

Combina $2$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.1.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.12

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.13

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f' (x)$ es continua en $[4, 9]$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 2.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 2.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}}$

Paso 2.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

Paso 2.2

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 2.3

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{x} = 0$

Paso 2.4

Resuelve $x$

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Paso 2.4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 2.4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 2.4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{2}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{2}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 3

$f' (x)$ es continua en $[4, 9]$ .

$f' (x)$ es continua

Paso 4

El valor promedio de una función $f'$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 5

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 x^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $2 x^{\frac{1}{2}}$ en $9$ y en $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.3.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2.3.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2.4

Evalúa el exponente.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2.6

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 8.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 8.2.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.8.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Paso 8.2.8.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

Paso 8.2.9

Evalúa el exponente.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

Paso 8.2.10

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 4)$

Paso 8.2.11

Resta $4$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2)$

Paso 9

Resta $4$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 2$

Paso 10

Combina $\frac{1}{5}$ y $2$ .

$A (x) = \frac{2}{5}$

Paso 11