Cálculo Ejemplos

$y = x^{3}$ , $[0, 5]$

Paso 1

Escribe $y = x^{3}$ como una función.

$f (x) = x^{3}$

Paso 2

Obtén la derivada de $f (x) = x^{3}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

$f' (x)$ es continua en $[0, 5]$ .

$f' (x)$ es continua

Paso 5

El valor promedio de una función $f'$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 6

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 3 x^{2} d x)$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 \int_{0}^{5} x^{2} d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}))$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}))$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $5$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.2

Simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}))$

Paso 9.2.2.3

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 9.2.2.3.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Paso 9.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 9.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 9.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}))$

Paso 9.2.2.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - 0))$

Paso 9.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} + 0))$

Paso 9.2.2.5

Suma $\frac{125}{3}$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3}))$

Paso 9.2.2.6

Combina $3$ y $\frac{125}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

Paso 9.2.2.7

Multiplica $3$ por $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{375}{3})$

Paso 9.2.2.8

Cancela el factor común de $375$ y $3$ .

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Paso 9.2.2.8.1

Factoriza $3$ de $375$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

Paso 9.2.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.8.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 (1)})$

Paso 9.2.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 \cdot 1})$

Paso 9.2.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{125}{1})$

Paso 9.2.2.8.2.4

Divide $125$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (125)$

Paso 10

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 125$

Paso 10.2

Suma $5$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 125$

Paso 11

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 11.1

Factoriza $5$ de $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 (25))$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 25)$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = 25$

Paso 12