Cálculo Ejemplos

$f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ , $[0, 4]$

Paso 1

Comprueba si $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ es continua.

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Paso 1.1

Para determinar si la función es continua en $[0, 4]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

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Paso 1.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{4}{5} \sqrt[4]{x^{5}}$

Paso 1.1.2

Establece el radicando en $\sqrt[4]{x^{5}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{5} \geq 0$

Paso 1.1.3

Resuelve $x$

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Paso 1.1.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[5]{x^{5}} \geq \sqrt[5]{0}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 1.1.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x \geq \sqrt[5]{0}$

Paso 1.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.2.1

Simplifica $\sqrt[5]{0}$ .

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Paso 1.1.3.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$x \geq \sqrt[5]{0^{5}}$

Paso 1.1.3.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x \geq 0$

Paso 1.1.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Paso 1.2

$f (x)$ es continua en $[0, 4]$ .

La función es continua.

Paso 2

Comprueba si $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ es diferenciable.

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Paso 2.1

Obtén la derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Combina $\frac{4}{5}$ y $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Paso 2.1.1.2

Como $\frac{4}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Paso 2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Paso 2.1.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 2.1.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 2.1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 2.1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Paso 2.1.1.7.2

Resta $4$ de $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Paso 2.1.1.8

Combina $\frac{5}{4}$ y $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Paso 2.1.1.9

Multiplica $\frac{4}{5}$ por $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Paso 2.1.1.10

Multiplica.

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Paso 2.1.1.10.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Paso 2.1.1.10.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Paso 2.1.1.11

Cancela el factor común.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Paso 2.1.1.12

Divide $x^{\frac{1}{4}}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$

Paso 2.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Paso 2.2

Obtén si la derivada es continua en $[0, 4]$ .

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Paso 2.2.1

Para determinar si la función es continua en $[0, 4]$ o no, obtén el dominio de $f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 2.2.1.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt[4]{x^{1}}$

Paso 2.2.1.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\sqrt[4]{x}$

Paso 2.2.1.2

Establece el radicando en $\sqrt[4]{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 2.2.1.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Paso 2.2.2

$f' (x)$ es continua en $[0, 4]$ .

La función es continua.

Paso 2.3

La función es diferenciable en $[0, 4]$ porque la derivada es continua en $[0, 4]$ .

La función es diferenciable.

Paso 3

Para garantizar la longitud del arco, la función y su derivada deben ser ambas continuas en el intervalo cerrado $[0, 4]$ .

La función y su derivada son continuas en el intervalo cerrado $[0, 4]$ .

Paso 4

Obtén la derivada de $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ .

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Paso 4.1

Combina $\frac{4}{5}$ y $x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

Paso 4.2

Como $\frac{4}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

Paso 4.7.2

Resta $4$ de $5$ .

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

Paso 4.8

Combina $\frac{5}{4}$ y $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

Paso 4.9

Multiplica $\frac{4}{5}$ por $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

Paso 4.10

Multiplica.

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Paso 4.10.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

Paso 4.10.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Paso 4.11

Cancela el factor común.

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

Paso 4.12

Divide $x^{\frac{1}{4}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{4}}$

Paso 5

Para obtener la longitud del arco de una función, usa la fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}} d x$

Paso 6