Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{5} 3000 e^{- 0.05 x} d x$

Paso 1

Dado que $3000$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3000$ fuera de la integral.

$3000 \int_{0}^{5} e^{- 0.05 x} d x$

Paso 2

Sea $u = - 0.05 x$ . Entonces $d u = - 0.05 d x$ , de modo que $\frac{1}{- 0.05} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = - 0.05 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $- 0.05 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.05 x]$

Paso 2.1.2

Como $- 0.05$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 0.05 x$ con respecto a $x$ es $- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 0.05 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 0.05$ por $1$ .

$- 0.05$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - 0.05 x$ .

$u_{lower} = - 0.05 \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $- 0.05$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - 0.05 x$ .

$u_{upper} = - 0.05 \cdot 5$

Paso 2.5

Multiplica $- 0.05$ por $5$ .

$u_{upper} = - 0.25$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.25$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} \frac{1}{- 0.05} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} (- \frac{1}{0.05}) d u$

Paso 3.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{0.05}$ .

$3000 \int_{0}^{- 0.25} - \frac{e^{u}}{0.05} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3000 (- \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $3000$ .

$- 3000 \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{0.05}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{0.05}$ fuera de la integral.

$- 3000 (\frac{1}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{0.05}$ y $- 3000$ .

$\frac{- 3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

Paso 7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{3000}{0.05} e^{u}]_{0}^{- 0.25}$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $e^{u}$ en $- 0.25$ y en $0$ .

$- \frac{3000}{0.05} ((e^{- 0.25}) - e^{0})$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1 \cdot 1)$

Paso 9.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Divide $3000$ por $0.05$ .

$- 1 \cdot 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

Paso 10.2

Multiplica $- 1$ por $60000$ .

$- 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

Paso 10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 60000 e^{- 0.25} - 60000 \cdot - 1$

Paso 10.4

Multiplica $- 60000$ por $- 1$ .

$- 60000 e^{- 0.25} + 60000$

Paso 10.5

Simplifica cada término.

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Paso 10.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 60000 \frac{1}{e^{0.25}} + 60000$

Paso 10.5.2

Combina $- 60000$ y $\frac{1}{e^{0.25}}$ .

$\frac{- 60000}{e^{0.25}} + 60000$

Paso 10.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

Forma decimal:

$13271.95301571 \dots$

Paso 12