Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - (x + h)}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{x + h}{6 - x - h}$ .

$\frac{x + h}{6 - x - h}$

Paso 2.2

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h}{6 - x - h} - (\frac{x}{6 - x})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Para escribir $\frac{x + h}{6 - x - h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x}}{h}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- \frac{x}{6 - x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ .

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

Paso 4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(6 - x - h) (6 - x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $\frac{x + h}{6 - x - h}$ por $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $\frac{x}{6 - x}$ por $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.3.3

Reordena los factores de $(6 - x - h) (6 - x)$ .

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x) (6 - x - h)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.5.1

Expande $(x + h) (6 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x (6 - x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.2.1

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\frac{6 \cdot x + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{6 x - x \cdot x + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.2.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{6 x - (x \cdot x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.4

Mueve $6$ a la izquierda de $h$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 \cdot h + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x \cdot 6 - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.4

Simplifica.

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Paso 4.1.5.4.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.4.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.5.5.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.5.5.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.5.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.6

Resta $6 x$ de $6 x$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + 0 + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.7

Suma $- x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.8

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\frac{6 h - h x + 0 + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.9

Suma $6 h$ y $0$ .

$\frac{\frac{- h x + 6 h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.10

Suma $- h x$ y $x h$ .

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Paso 4.1.5.10.1

Mueve $h$ .

$\frac{\frac{6 h - x h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.10.2

Suma $- x h$ y $x h$ .

$\frac{\frac{6 h + 0}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.1.5.11

Suma $6 h$ y $0$ .

$\frac{\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $h$ de $6 h$ .

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{(6 - x) (6 - x - h)}$

Paso 5