Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} y {(y^{2} + 1)}^{5} d y$

Paso 1

Sea $u = y^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = y^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 y + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 y$ y $0$ .

$2 y$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = y^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = y^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} u^{5} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $u^{5}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{5}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{5} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{2}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{6} u^{6}$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 2^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{64}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $64$ y $6$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $2$ de $64$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Paso 5.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Paso 5.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6})$

Paso 5.2.6

Para escribir $\frac{32}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

Paso 5.2.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.7.1

Multiplica $\frac{32}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

Paso 5.2.7.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6})$

Paso 5.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{6}$

Paso 5.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.9.1

Multiplica $32$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{6}$

Paso 5.2.9.2

Resta $1$ de $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{6}$

Paso 5.2.10

Cancela el factor común de $63$ y $6$ .

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Paso 5.2.10.1

Factoriza $3$ de $63$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (21)}{6}$

Paso 5.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.10.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Paso 5.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

Paso 5.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2}$

Paso 5.2.11

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{21}{2}$ .

$\frac{21}{2 \cdot 2}$

Paso 5.2.12

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{21}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{21}{4}$

Forma decimal:

$5.25$

Forma de número mixto:

$5 \frac{1}{4}$

Paso 7