Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} \frac{2 t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{2} \frac{t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

Paso 2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}}$

Paso 2.1.2

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$

Paso 2.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de ${(t - 3)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Paso 2.1.4.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Paso 2.1.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.1

Cancela el factor común de ${(t - 3)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.1.1

Cancela el factor común.

$t = \frac{A {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Paso 2.1.5.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$t = A + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

Paso 2.1.5.2

Cancela el factor común de ${(t - 3)}^{2}$ y $t - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.2.1

Factoriza $t - 3$ de $(B) {(t - 3)}^{2}$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{t - 3}$

Paso 2.1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Paso 2.1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

Paso 2.1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$t = A + \frac{B (t - 3)}{1}$

Paso 2.1.5.2.2.4

Divide $B (t - 3)$ por $1$ .

$t = A + B (t - 3)$

Paso 2.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$t = A + B t + B \cdot - 3$

Paso 2.1.5.4

Mueve $- 3$ a la izquierda de $B$ .

$t = A + B t - 3 B$

Paso 2.1.6

Reordena $A$ y $B t$ .

$t = B t + A - 3 B$

Paso 2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $t$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = B$

Paso 2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $t$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A - 3 B$

Paso 2.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

Paso 2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $B = 1$ .

$B = 1$

$0 = A - 3 B$

Paso 2.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $1$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $0 = A - 3 B$ por $1$ .

$0 = A - 3 \cdot 1$

$B = 1$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

Paso 2.3.3

Resuelve $A$ en $0 = A - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $A - 3 = 0$ .

$A - 3 = 0$

$B = 1$

Paso 2.3.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

Paso 2.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = 3 B = 1$

Paso 2.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 3, B = 1$

Paso 2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3}$

Paso 2.5

Elimina el cero de la expresión.

$2 \int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3} d t$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Paso 4

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 (3 \int_{0}^{2} \frac{1}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Paso 5

Sea $u_{1} = t - 3$ . Entonces $d u_{1} = d t$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Deja $u_{1} = t - 3$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Diferencia $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Paso 5.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{1} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Paso 5.3

Resta $3$ de $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{1} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Paso 5.5

Resta $3$ de $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

Paso 8

Sea $u_{2} = t - 3$ . Entonces $d u_{2} = d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Deja $u_{2} = t - 3$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Diferencia $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Paso 8.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u_{2} = t - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Paso 8.3

Resta $3$ de $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u_{2} = t - 3$ .

$u_{upper} = 2 - 3$

Paso 8.5

Resta $3$ de $2$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Evalúa $- {u_{1}}^{- 1}$ en $- 1$ y en $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

Paso 10.2

Evalúa $\ln (| u_{2} |)$ en $- 1$ y en $- 3$ .

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$2 (3 (- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (3 (- - 1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 (3 (1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (3 (1 + \frac{1}{- 3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (3 (1 - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 (3 (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (3 \frac{3 - 1}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.9

Resta $1$ de $3$ .

$2 (3 (\frac{2}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.10

Combina $3$ y $\frac{2}{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.11

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 (\frac{6}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.12

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.12.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.12.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.12.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{2}{1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

Paso 10.3.12.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 (2 + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

$2 (2 + \ln (| - 1 |) - \ln (| - 3 |))$

Paso 11

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (2 + \ln (\frac{| - 1 |}{| - 3 |}))$

Paso 12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{| - 3 |}))$

Paso 12.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 3$ y $0$ es $3$ .

$2 (2 + \ln (\frac{1}{3}))$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Paso 12.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

Forma decimal:

$1.80277542 \dots$

Paso 14