Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $4$ y en $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $2$ por $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 4.2.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Paso 4.2.2.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 4.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{16 - 2}{3}$

Paso 4.2.2.9

Resta $2$ de $16$ .

$3 (\frac{14}{3})$

Paso 4.2.2.10

Combina $3$ y $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Paso 4.2.2.11

Multiplica $3$ por $14$ .

$\frac{42}{3}$

Paso 4.2.2.12

Cancela el factor común de $42$ y $3$ .

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Paso 4.2.2.12.1

Factoriza $3$ de $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Paso 4.2.2.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.12.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Paso 4.2.2.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Paso 4.2.2.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{14}{1}$

Paso 4.2.2.12.2.4

Divide $14$ por $1$ .

$14$

Paso 5