Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{8} \frac{8}{3 x^{5}} d x$

Paso 1

Dado que $\frac{8}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{8}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $x^{5}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} {(x^{5})}^{- 1} d x$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{5 \cdot - 1} d x$

Paso 2.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{- 5} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{4} x^{- 4}]_{1}^{8}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ en $8$ y en $1$ .

$\frac{8}{3} ((- \frac{1}{4} \cdot 8^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{4}} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 4.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4096} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 4.2.3

Multiplica $\frac{1}{4096}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4096 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 4.2.4

Multiplica $4096$ por $4$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

Paso 4.2.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1)$

Paso 4.2.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4})$

Paso 4.2.7

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4096}{4096}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4096}{4096})$

Paso 4.2.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $16384$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.8.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{4096}{4096}$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{4 \cdot 4096})$

Paso 4.2.8.2

Multiplica $4$ por $4096$ .

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{16384})$

Paso 4.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{- 1 + 4096}{16384}$

Paso 4.2.10

Suma $- 1$ y $4096$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{4095}{16384}$

Paso 4.2.11

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $\frac{4095}{16384}$ .

$\frac{8 \cdot 4095}{3 \cdot 16384}$

Paso 4.2.12

Multiplica $8$ por $4095$ .

$\frac{32760}{3 \cdot 16384}$

Paso 4.2.13

Multiplica $3$ por $16384$ .

$\frac{32760}{49152}$

Paso 4.2.14

Cancela el factor común de $32760$ y $49152$ .

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Paso 4.2.14.1

Factoriza $24$ de $32760$ .

$\frac{24 (1365)}{49152}$

Paso 4.2.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.14.2.1

Factoriza $24$ de $49152$ .

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

Paso 4.2.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

Paso 4.2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1365}{2048}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1365}{2048}$

Forma decimal:

$0.66650390 \dots$

Paso 6