Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} \sqrt{16 x^{5}} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe $16 x^{5}$ como ${(4 x^{2})}^{2} x$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} x^{5}} d x$

Paso 1.1.2

Factoriza $x^{4}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} (x^{4} x)} d x$

Paso 1.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} ({(x^{2})}^{2} x)} d x$

Paso 1.1.4

Reescribe $4^{2} {(x^{2})}^{2}$ como ${(4 x^{2})}^{2}$ .

$\int_{1}^{4} \sqrt{{(4 x^{2})}^{2} x} d x$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} \sqrt{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

Paso 2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

Paso 2.2.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Paso 2.2.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

Paso 2.2.6.2

Suma $1$ y $4$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{5}{2}} d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}]_{1}^{4})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $\frac{2}{7}$ y $x^{\frac{7}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}]_{1}^{4})$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$ en $4$ y en $1$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{7}{2}}}{7}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Paso 5.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Paso 5.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Paso 5.2.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $7$ .

$4 (\frac{2 \cdot 128}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Paso 5.2.2.5

Multiplica $2$ por $128$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

Paso 5.2.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1}{7})$

Paso 5.2.2.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2}{7})$

Paso 5.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{256 - 2}{7}$

Paso 5.2.2.9

Resta $2$ de $256$ .

$4 (\frac{254}{7})$

Paso 5.2.2.10

Combina $4$ y $\frac{254}{7}$ .

$\frac{4 \cdot 254}{7}$

Paso 5.2.2.11

Multiplica $4$ por $254$ .

$\frac{1016}{7}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1016}{7}$

Forma decimal:

$145.14285714 \dots$

Forma de número mixto:

$145 \frac{1}{7}$

Paso 7