Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x^{2}}{x^{3} - x + 1}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{x^{2}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x}}{1 - \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x}}{1 - \frac{x^{1}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x}}{1 - \frac{x \cdot 1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x}}{1 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x}}{1 - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{0 - 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 - 0}{1 - 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 - 0}{1 - 0 + 0}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 - 0 + 0}$

Paso 8.1.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{1 - 0 + 0}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

Paso 8.2.2

Suma $1 + 0$ y $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Paso 8.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 8.3

Divide $0$ por $1$ .

$0$