Cálculo Ejemplos

$\int u^{2} \sin (2 u) d u$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u^{2}$ y $dv = \sin (2 u)$ .

$u^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 u)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\cos (2 u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$u^{2} (- \frac{\cos (2 u)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Paso 2.2

Combina $u^{2}$ y $\frac{\cos (2 u)}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{2} \cdot 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- \frac{1}{2} \cdot 2$ fuera de la integral.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int \cos (2 u) (u) d u)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 u) (u) d u)$

Paso 4.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 1}{1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

Paso 4.3.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - - \int \cos (2 u) (u) d u$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + 1 \int \cos (2 u) (u) d u$

Paso 4.5

Multiplica $\int \cos (2 u) (u) d u$ por $1$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \int \cos (2 u) (u) d u$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = \cos (2 u)$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u (\frac{1}{2} \sin (2 u)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 u)$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u \frac{\sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Paso 6.2

Combina $u$ y $\frac{\sin (2 u)}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 u) d u)$

Paso 8

Sea $u_{1} = 2 u$ . Entonces $d u_{1} = 2 d u$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d u$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{1} = 2 u$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $2 u$ .

$\frac{d}{d u} [2 u]$

Paso 8.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $2 u$ con respecto a $u$ es $2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$2 \frac{d}{d u} [u]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 9

Combina $\sin (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

Paso 12

La integral de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \cos (u_{1})$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$

Paso 13

Reescribe $- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$ como $- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 u$ .

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (2 u)}{4} + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} u^{2} \cos (2 u) + \frac{1}{2} u \sin (2 u) + \frac{1}{4} \cos (2 u) + C$