Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{y} (4 - 3 y - 2 y^{2}) d y$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = 4 - 3 y - 2 y^{2}$ y $d v = \sqrt{y}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} (- 4 y - 3) d y$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $y^{\frac{3}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} (- 4 y - 3) d y$

Paso 2.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $y^{\frac{3}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} (- 4 y - 3) d y$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} (- 4 y) + \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 3 d y$

Paso 3.2

Reordena $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $- 4$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - 4 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} y + \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 3 d y$

Paso 3.3

Reordena $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $- 3$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - 4 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} y - 3 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Paso 3.4

Combina $- 4$ y $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 4 (2 y^{\frac{3}{2}})}{3} y - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Paso 3.5

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2}}}{3} y - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Paso 3.6

Combina $\frac{- 8 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ y $y$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2}} y}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Paso 3.7

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 (y^{\frac{3}{2}} y^{1})}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2} + 1}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Paso 3.9

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Paso 3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Paso 3.11

Suma $3$ y $2$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Paso 3.12

Combina $- 3$ y $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{3} d y$

Paso 3.13

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 6 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 6 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

Paso 4.2

Factoriza $3$ de $- 6 y^{\frac{3}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3} d y$

Paso 4.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d y$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d y$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 2 y^{\frac{3}{2}}}{1} d y$

Paso 4.3.4

Divide $- 2 y^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{3}{2}} d y$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} d y + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \int \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} d y + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Paso 7

Dado que $\frac{8}{3}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{8}{3}$ fuera de la integral.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- (\frac{8}{3} \int y^{\frac{5}{2}} d y) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}} + C) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Paso 9

Combina $\frac{2}{7}$ y $y^{\frac{7}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

Paso 10

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 \int y^{\frac{3}{2}} d y)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C))$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $y^{\frac{5}{2}}$ .

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Paso 12.2

Simplifica.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} + \frac{y^{\frac{7}{2}} \cdot - 4}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 12.3

Simplifica.

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Paso 12.3.1

Mueve $- 4$ a la izquierda de $y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 \cdot y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 12.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 12.3.3

Multiplica $\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7}$ por $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{2 y^{\frac{7}{2}} \cdot 8}{7 \cdot 3} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 12.3.4

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{7 \cdot 3} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 12.3.5

Multiplica $7$ por $3$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 12.3.6

Combina $- 2$ y $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{- 2 (2 y^{\frac{5}{2}})}{5}) + C$

Paso 12.3.7

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{- 4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 12.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 12.3.9

Para escribir $- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

Paso 12.3.10

Combina $- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

Paso 12.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

Paso 12.3.12

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}} - 3 (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} (8 y^{\frac{3}{2}} - 3 (- \frac{16}{21} y^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} y^{\frac{5}{2}})) - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} y^{\frac{7}{2}} + C$