Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{4}{2}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5.2.4

Divide $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x^{2} + 6 (2 x)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{2} + 12 x$ .

$6 x^{2} + 12 x$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x^{2} + 12 x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x^{2} + 12 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza $6 x$ de $6 x^{2} + 12 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{2}$ .

$6 x (x) + 12 x = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $6 x$ de $12 x$ .

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $6 x$ de $6 x (x) + 6 x (2)$ .

$6 x (x + 2) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 x (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $- 2$ en $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + 2 {(- 2)}^{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 {(- 2)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) + 2 {(- 2)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) + 2 {(- 2)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 2) = 8 + 2 {(- 2)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f (- 2) = 8 + 2 \cdot - 8$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$f (- 2) = 8 - 16$

Paso 4.3.2.2

Resta $16$ de $8$ .

$f (- 2) = - 8$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $- 8$ .

$- 8$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2$ en $f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ es $(- 2, - 8)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2, - 8)$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 2, - 8)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.1$ en la expresión.

$f'' (- 2.1) = 6 {(- 2.1)}^{2} + 12 (- 2.1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6 \cdot 4.41 + 12 (- 2.1)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $6$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 + 12 (- 2.1)$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $12$ por $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 26.46 - 25.2$

Paso 6.2.2

Resta $25.2$ de $26.46$ .

$f'' (- 2.1) = 1.26$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $1.26$ .

$1.26$

Paso 6.3

En $- 2.1$ , la segunda derivada es $1.26$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = 6 - 12$

Paso 7.2.2

Resta $12$ de $6$ .

$f'' (- 1) = - 6$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 7.3

En $- 1$ , la segunda derivada es $- 6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 2, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $6$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 12 (0.1)$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $12$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 1.2$

Paso 8.2.2

Suma $0.06$ y $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.26$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $1.26$ .

$1.26$

Paso 8.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $1.26$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 2, - 8), (0, 0)$ .

$(- 2, - 8), (0, 0)$

Paso 10