Cálculo Ejemplos

$y = e^{a x} \sin (b x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d b} (y) = \frac{d}{d b} (e^{a x} \sin (b x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $b$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $e^{a x}$ es constante con respecto a $b$ , la derivada de $e^{a x} \sin (b x)$ con respecto a $b$ es $e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$ .

$e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ es $f' (g (b)) g' (b)$ donde $f (b) = \sin (b)$ y $g (b) = b x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $b x$ .

$e^{a x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d b} [b x])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$e^{a x} (\cos (u) \frac{d}{d b} [b x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $b x$ .

$e^{a x} (\cos (b x) \frac{d}{d b} [b x])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $b$ , la derivada de $b x$ con respecto a $b$ es $x \frac{d}{d b} [b]$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (x \frac{d}{d b} [b]))$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ es $n b^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) (x \cdot 1))$

Paso 3.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{a x} (\cos (b x) x)$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los factores de $e^{a x} (\cos (b x) x)$ .

$e^{a x} x \cos (b x)$

Paso 3.4.2

Reordena los factores en $e^{a x} x \cos (b x)$ .

$x e^{a x} \cos (b x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = x e^{a x} \cos (b x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d b}$ .

$\frac{d y}{d b} = x e^{a x} \cos (b x)$