Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) \sin (\sin (2 x)) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Paso 1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (u_{1})$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1})}{2} \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Paso 2.2

Combina $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ y $\sin (\sin (u_{1}))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1}))}{2} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Paso 4.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = \sin (u_{1})$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 4.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Paso 5

La integral de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u_{2})]_{0}^{1}$

Paso 6

Evalúa $- \cos (u_{2})$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + \cos (0))$

Paso 7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + 1)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\cos (1)$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

Paso 8.2

Multiplica $- 1$ por $0.5403023$ .

$\frac{1}{2} (- 0.5403023 + 1)$

Paso 8.3

Suma $- 0.5403023$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0.45969769$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $0.45969769$ .

$\frac{0.45969769}{2}$

Paso 8.5

Divide $0.45969769$ por $2$ .

$0.22984884$