Cálculo Ejemplos

Hallar los máximos y mínimos locales e^(4x)+e^(-x)
Paso 1
Escribe como una función.
Paso 2
Obtén la primera derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.1
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.2.1.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.2.1.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 2.2.1.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.2.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.4
Multiplica por .
Paso 2.2.5
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.3.1.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 2.3.1.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.3.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3.4
Multiplica por .
Paso 2.3.5
Mueve a la izquierda de .
Paso 2.3.6
Reescribe como .
Paso 3
Obtén la segunda derivada de la función.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 3.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 3.2.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 3.2.2.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 3.2.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 3.2.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 3.2.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 3.2.5
Multiplica por .
Paso 3.2.6
Mueve a la izquierda de .
Paso 3.2.7
Multiplica por .
Paso 3.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 3.3.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 3.3.2.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 3.3.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 3.3.3
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 3.3.4
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 3.3.5
Multiplica por .
Paso 3.3.6
Mueve a la izquierda de .
Paso 3.3.7
Reescribe como .
Paso 3.3.8
Multiplica por .
Paso 3.3.9
Multiplica por .
Paso 4
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 5
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 5.1.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1.2.1
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1.2.1.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 5.1.2.1.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 5.1.2.1.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 5.1.2.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 5.1.2.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 5.1.2.4
Multiplica por .
Paso 5.1.2.5
Mueve a la izquierda de .
Paso 5.1.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1.3.1
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1.3.1.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 5.1.3.1.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 5.1.3.1.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 5.1.3.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 5.1.3.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 5.1.3.4
Multiplica por .
Paso 5.1.3.5
Mueve a la izquierda de .
Paso 5.1.3.6
Reescribe como .
Paso 5.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 6
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
Toca para ver más pasos...
Paso 6.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 6.2
Mueve al lado derecho de la ecuación mediante la suma en ambos lados.
Paso 6.3
Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.
Paso 6.4
Expande el lado izquierdo.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.4.1
Reescribe como .
Paso 6.4.2
Expande ; para ello, mueve fuera del logaritmo.
Paso 6.4.3
El logaritmo natural de es .
Paso 6.4.4
Multiplica por .
Paso 6.5
Expande el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.5.1
Expande ; para ello, mueve fuera del logaritmo.
Paso 6.5.2
El logaritmo natural de es .
Paso 6.5.3
Multiplica por .
Paso 6.6
Mueve todos los términos que contengan al lado izquierdo de la ecuación.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.6.1
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 6.6.2
Suma y .
Paso 6.7
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 6.8
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 6.8.1
Divide cada término en por .
Paso 6.8.2
Simplifica el lado izquierdo.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.8.2.1
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 6.8.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 6.8.2.1.2
Divide por .
Paso 6.8.3
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.8.3.1
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 7
Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.
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Paso 7.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Paso 8
Puntos críticos para evaluar.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 10
Simplifica cada término.
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Paso 10.1
Reescribe como .
Paso 10.2
Simplifica al mover dentro del algoritmo.
Paso 10.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 10.3.1
Multiplica por .
Paso 10.3.2
Simplifica al mover dentro del algoritmo.
Paso 10.4
Simplifica al mover dentro del algoritmo.
Paso 10.5
Potencia y logaritmo son funciones inversas.
Paso 10.6
Multiplica los exponentes en .
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Paso 10.6.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 10.6.2
Multiplica por .
Paso 10.7
Multiplica los exponentes en .
Toca para ver más pasos...
Paso 10.7.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 10.7.2
Combina y .
Paso 10.7.3
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 10.8
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 10.9
Combina y .
Paso 10.10
Reescribe como .
Paso 10.11
Simplifica al mover dentro del algoritmo.
Paso 10.12
Multiplica .
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Paso 10.12.1
Multiplica por .
Paso 10.12.2
Multiplica por .
Paso 10.13
Potencia y logaritmo son funciones inversas.
Paso 11
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 12
Obtén el valor de y cuando .
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Paso 12.1
Simplify to substitute in .
Toca para ver más pasos...
Paso 12.1.1
Reescribe como .
Paso 12.1.2
Simplifica al mover dentro del algoritmo.
Paso 12.2
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 12.3
Simplifica el resultado.
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Paso 12.3.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 12.3.1.1
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 12.3.1.1.1
Multiplica por .
Paso 12.3.1.1.2
Simplifica al mover dentro del algoritmo.
Paso 12.3.1.2
Simplifica al mover dentro del algoritmo.
Paso 12.3.1.3
Potencia y logaritmo son funciones inversas.
Paso 12.3.1.4
Multiplica los exponentes en .
Toca para ver más pasos...
Paso 12.3.1.4.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 12.3.1.4.2
Multiplica por .
Paso 12.3.1.5
Multiplica los exponentes en .
Toca para ver más pasos...
Paso 12.3.1.5.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 12.3.1.5.2
Combina y .
Paso 12.3.1.5.3
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 12.3.1.6
Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo .
Paso 12.3.1.7
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 12.3.1.7.1
Multiplica por .
Paso 12.3.1.7.2
Multiplica por .
Paso 12.3.1.8
Potencia y logaritmo son funciones inversas.
Paso 12.3.2
La respuesta final es .
Paso 13
Estos son los extremos locales de .
es un mínimo local
Paso 14