Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{9 + 4 \sec^{2} (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = \sec (x)$ . Entonces $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \sec (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{9 + 4 u^{2}} d u$

Paso 2

Factoriza $4$ de $9 + 4 u^{2}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $4$ de $9$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 u^{2}} d u$

Paso 2.2

Factoriza $4$ de $4 u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})} d u$

Paso 2.3

Factoriza $4$ de $4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + u^{2})} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{9}{4} + u^{2}} d u$

Paso 4

Reescribe $\frac{9}{4}$ como ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}} d u$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Paso 6.1.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

Paso 6.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (u \frac{2}{3}) + C)$

Paso 6.1.4

Combina $u$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u \cdot 2}{3}) + C)$

Paso 6.1.5

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot u}{3}) + C)$

Paso 6.1.6

Combina $\frac{2}{3}$ y $\arctan (\frac{2 u}{3})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$

Paso 6.2

Reescribe $\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Paso 6.3.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{2}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 6.3.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Paso 6.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Paso 6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Paso 6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} \sec (x)) + C$