Cálculo Ejemplos

$\int e^{x} \cos (2 x) d x$

Paso 1

Reordena $e^{x}$ y $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (2 x)$ y $d v = e^{x}$ .

$\cos (2 x) e^{x} - \int e^{x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Paso 3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\cos (2 x) e^{x} - (- 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x)$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x$

Paso 4.2

Reordena $e^{x}$ y $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 \int \sin (2 x) e^{x} d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (2 x)$ y $d v = e^{x}$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - \int e^{x} (2 \cos (2 x)) d x)$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - (2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x))$

Paso 7

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - 2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x)$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x}) + 2 (- 2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x)$

Paso 7.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x}) - 4 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x$

Paso 8

Al resolver $\int e^{x} \cos (2 x) d x$ , obtenemos que $\int e^{x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x})}{5}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x})}{5} + C$

Paso 9

Reescribe $\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}}{5} + C$ como $\frac{1}{5} (\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{5} (\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}) + C$