Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{t} \cdot (\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}) d t$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{1}{t}$ por $\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}$ .

$\int \frac{\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Para escribir $\frac{2}{t^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t}{t}$ .

$\int \frac{\frac{2}{t^{2}} \cdot \frac{t}{t} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Paso 1.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $t^{3}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $\frac{2}{t^{2}}$ por $\frac{t}{t}$ .

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2} t} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.2.1

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2} t^{1}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Paso 1.2.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2 + 1}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Paso 1.2.2.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{3}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{\frac{2 t - 3}{t^{3}}}{t} d t$

Paso 1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3}} \cdot \frac{1}{t} d t$

Paso 1.4

Multiplica $\frac{2 t - 3}{t^{3}} \cdot \frac{1}{t}$ .

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{2 t - 3}{t^{3}}$ por $\frac{1}{t}$ .

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3} t} d t$

Paso 1.4.2

Multiplica $t^{3}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.2.1

Multiplica $t^{3}$ por $t$ .

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Paso 1.4.2.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3} t^{1}} d t$

Paso 1.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3 + 1}} d t$

Paso 1.4.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$\int \frac{2 t - 3}{t^{4}} d t$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $t^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (2 t - 3) {(t^{4})}^{- 1} d t$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(t^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 t - 3) t^{4 \cdot - 1} d t$

Paso 2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int (2 t - 3) t^{- 4} d t$

Paso 3

Multiplica $(2 t - 3) t^{- 4}$ .

$\int 2 t \cdot t^{- 4} - 3 t^{- 4} d t$

Paso 4

Multiplica $t$ por $t^{- 4}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $t^{- 4}$ .

$\int 2 (t^{- 4} t) - 3 t^{- 4} d t$

Paso 4.2

Multiplica $t^{- 4}$ por $t$ .

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Paso 4.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\int 2 (t^{- 4} t^{1}) - 3 t^{- 4} d t$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2 t^{- 4 + 1} - 3 t^{- 4} d t$

Paso 4.3

Suma $- 4$ y $1$ .

$\int 2 t^{- 3} - 3 t^{- 4} d t$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 t^{- 3} d t + \int - 3 t^{- 4} d t$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int t^{- 3} d t + \int - 3 t^{- 4} d t$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- 3}$ con respecto a $t$ es $- \frac{1}{2} t^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} t^{- 2} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $t^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{t^{- 2}}{2} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

Paso 8.2

Mueve $t^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

Paso 9

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 \int t^{- 4} d t$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- 4}$ con respecto a $t$ es $- \frac{1}{3} t^{- 3}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3} t^{- 3} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Combina $t^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{t^{- 3}}{3} + C)$

Paso 11.1.2

Mueve $t^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}} + C)$

Paso 11.2

Simplifica.

$\frac{- 1}{t^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}}) + C$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{t^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}}) + C$

Paso 11.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$- \frac{1}{t^{2}} + 3 \frac{1}{3 t^{3}} + C$

Paso 11.3.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3 t^{3}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{3}{3 t^{3}} + C$

Paso 11.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.3.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{3}{3 t^{3}} + C$

Paso 11.3.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{1}{t^{3}} + C$