Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x]$ como $\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 \sqrt{2 x} d x]$ .

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Paso 1.1

Reescribe $8 x$ como $2^{2} \cdot (2 x)$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{4 (2) x} d x]$

Paso 1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{2^{2} \cdot 2 x} d x]$

Paso 1.1.3

Agrega paréntesis.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{2^{2} \cdot (2 x)} d x]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 \sqrt{2 x} d x]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 3

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 4

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) d x]$

Paso 5

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 7.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 8

Una vez que se haya evaluado $\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$ , será constante con respecto a $x$ , por lo que la derivada de $\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$